Algebra

SERIES NUMERICAS Y SERIES DE POTENCIAS Series Numéricas: Sabemos de que trata el concepto de suma, aplicable a un número finito de sumandos, en este capítulo intentamos resolver el problema de sumar un número infinitos de términos. Dada una sucesión de números reales {a n }nÎN tal que, {a n } = {a1 , a 2 , a3 , .......... , a n , .......} formamos sus sumas parciales definidas como:
S1 = a1 S 2= a1 + a 2 S 3 = a1 + a 2 + a 3 ................................................. S n = a1 + a 2 + a3 + ........... + a n .................................................

A la sucesión formada por las sumas parciales de {a n } la denominamos “serie numérica” {S n }, siendo: {S n } = {S1 , S 2 , S 3 , ................ , S n , ...........} , a los números a1 , a 2 , a3 , los llamamos términos dela serie, y a S1 , S 2 , S 3 , sumas parciales de la serie estando ambos relacionados por las expresiones anteriores. En general una serie queda definida por las sumas parciales de la sucesión {a n } . Para denotar una serie se suele utilizar la notación

åa
n =1

¥

n

, en la cual:

åa
n =1

¥

1

= a1 + a 2 + a 3 + ........... + a n + .......

Algunos autores denominanserie numérica a la expresión anterior que tiene la ventaja de recordarnos que queremos hacer a través del concepto de serie, esto es, sumar. ì1 ü como: Definamos la “serie armónica” asociada a la sucesión armónica í ý î n þ nÎN ¥ 1 1 1 1 1 å n = 1 + 2 + 3 + 4 + .......... + n + ......... n =1 1 1 Los términos 1 , , , son términos de la serie y sus sumas parciales serán: 2 3 S1 = 1

1 3 = 2 2 1 1 11S3 = 1 + + = 2 3 6 S2 = 1 + Luego la serie armónica

ån
n =1

¥

1

es en realidad la sucesión 1 ,
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3 11 , , ........ , S n , ... 2 6

Si bien denotaremos siempre a los términos de la serie, no debemos olvidar su verdadera constitución. 1 ì1 ü Notemos que mientras la sucesión í ý es convergente, pues lim = 0 , la serie armónica será n ®¥ n în þ divergente (luego lodemostraremos). La cuestión de la convergencia de series numéricas, objetivo de nuestro estudio, queda resuelta utilizando el criterio de convergencia de sucesiones dado que la serie es una sucesión de sumas; para eso deberemos evaluar el resultado de lim S n .
n ®¥

Tomamos límite sobre el término general de la sucesión de sumas parciales y puede ocurrir que el mismo sea finito, infinito o bien no existe.· Si el límite es finito, la serie numérica {S n } será convergente, lim S n = S , y al resultado del
n ®¥

límite -S - lo conoceremos como suma de la serie. Esto significa que si una serie numérica converge a S, la suma de los infinitos términos de la sucesión {a n } que le da origen es el número real S. Si la serie converge entonces diremos que la sucesión {a n } es sumable y lo podemosindicar como

åa
n =1

¥

n

=S.

Hay propiedades de las sumas que no se conservan para las series, otras sí. Propiedad: Sean
¥

å an y
n =1 n

¥

åb
n =1

¥

n

dos series convergentes, entonces:

åk a
n =1 ¥ n =1

= k å a n , k Î Â es convergente.
n =1

¥

å (a n + bn ) = å a n + å bn
n =1 n =1

¥

¥

es convergente.

·

Si el límite lim S n es infinitola serie numérica será divergente y la sucesión no es sumable.
n ®¥

Por ejemplo
2

{n } no es sumable.
·
n ®¥

å n 2 = 1 + 4 + 9 + 16 + ........ + n 2 + ......... , la serie
n =1

¥

ån
n =1

¥

2

es divergente y la sucesión

Si el límite lim S n no existe diremos que la serie es oscilante. La serie

å (- 1)
n =1

¥

n

es una serie

oscilante cuyas sumasparciales son 1 y 0. Muchas veces es muy difícil encontrar la forma de Sn por lo tanto la determinación de la convergencia de una serie puede ser un asunto complicado. Es por esta razón que para resolver lo dicho se utilizarán criterios de convergencia que operan sobre el término general de la sucesión que origina la serie, es decir sobre an , que es de fácil localización.

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Por ejemplo...