Algebra


Espacio vectorial.
La idea de vector está tomada de la Física, donde sirven para representar magnitudes.
Vectoriales como fuerzas, velocidades o aceleraciones. Para ello se emplean vectores de
Dos componentes en el plano, de tres componentes en el espacio...
Se supone conocida la representación gráfica y manejo de los vectores de ℜ2 y de ℜ3
.
En Matemáticas, tratamos de abstraer laspropiedades que caracterizan a los vectores para extenderlas también a otro tipo de objetos diferentes de los vectores de la Física.
Esencialmente, el comportamiento que caracteriza a los vectores es el siguiente:

• Podemos sumar dos vectores y obtenemos otro vector;
• Podemos multiplicar un vector por un número (escalar) y obtenemos otro vector.

Además estas operaciones cumplen ciertas propiedades,que observamos en los vectores de ℜ2y de ℜ3
:
En lo sucesivo, utilizaremos habitualmente la siguiente notación: u,v,w (u otras letras latinas) para vectores, mientras que las letras griegas designarán escalares.


Propiedades de la suma de vectores.
• Asociativa: (u+v)+w = u+(v+w)
• Conmutativa: v+u=u+v.
• Para cada vector v existe un elemento opuesto, –v, que sumado con él da 0.




Definición:espacio vectorial.
Cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos de tal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetos diferentes a los vectores de la Física.)
Diremos que el espacio vectorial es real o complejo, según sean los escalares.

Otraspropiedades de los espacios vectoriales pueden deducirse de las anteriores propiedades básicas. Por ejemplo:

Si av= ( a escalar, v vector) entonces o bien es a =0 o bien es v= 0
.
Espacio euclidiano o Espacio vectorial:
Un espacio euclidiano es el conjunto de n ordenadas, también conocido por espacio n-dimensional y de denota por Rn este es una sucesión de n números reales ejemplo (a1,a2,...,an) dondelos vectores Rn se clasifican así:
R1 = espacio unidimensional, línea recta real.
R2 = espacio bidimensional, pares ordenados.
R3 = espacio tridimensional, terna ordenadas.
.......
Rn = espacio n-dimensional, n-adas ordenadas.
Operaciones Basicas con Vectores en R2:
Suma de vectores y multiplicación por un escalar:
Siendo X y Y dos vectores y H un escalar se dice que:
X + Y = (x1 , x2) + (y1 , y2)= (y1 , y2) + (x1 , x2) y la multiplicación por un escalar se define H(x1 , x2)=(Hx1 , Hx2).
Las propiedades que cumple la suma de vectores son la misma que cumplían las estructuras algebraicas de una operación que son: la de cierre, la conmutativa, la asociativa, elemento neutro e identidad y la distributiva.
Las leyes que cumple la multiplicación por un escalar son:
La de cierre bajo lamultiplicación Hx,
La distributiva (H+I)x = Hx + Ix ; H(x + y) = Hx + Hy,
La asociativa (HI)x = H(Ix),
y el elemento neutro de la multiplicación 1x = x.
Operaciones Básicas con Vectores en Rn:
Las operaciones básicas con vectores en Rn son las mismas que las operaciones básicas que vimos anteriormente, o sea, la suma de vectores y la multiplicación por un escalar la diferencia seria que en estos seriann-esimos elementos y n-esimos vectores ejemplo:

Para suma de vectores
X + Y = (x1 , x2, ... , xn) + (y1 , y2, ... , yn).
Para multiplicación de un vector por un escalar
H(x1 , x2, ... , xn) = (Hx1 , Hx2, ... , Hxn).
Las propiedades que cumplen son las mismas que vimos en operaciones básicas con vectores en R2.
El vector cero “0” es el vector neutro o identidad de la suma de vectores en Rn:
0 =(0, 0, 0, ..., 0n), este vector tiene como propiedad de que es único, es decir, U + 0 = 0,
0U = 0, a0 = 0, aU = 0 si a = 0 o U = 0, donde “U” es un vector y “a” un escalar.

Espacios Vectoriales:
Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichas propiedades vistas en espacios n-dimensiónales Rn...