aljebra

525148
ALGEBRA II
Universidad de Concepción

VALORES Y VECTORES PROPIOS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
1

Valores y vectores propios
Convención:

Por V se denota un espacio vectorial sobre el cuerpo K,

donde K = R o bien K = C, y por T : V −→ V un operador lineal.
Definición: Valor propio.
existe v ∈ V , v = θ, tal que:

Unescalar λ ∈ K es un valor propio de T si
T v = λv.

Si λ es un valor propio de T , a cada v ∈ V , v = θ, que satisface la
igualdad anterior se llama un vector propio de T asociado a λ.
Observación:
Los valores propios también se llaman valores característicos o
valores espectrales de T .

2

Valores y vectores propios
Definición: Espectro.

El conjunto formado por todos los valorespropios de T se llama espectro de T :
σ(T ) := {λ ∈ K : λ es valor propio de T }.
Definición: Subespacio propio.

Si λ es un valor propio de T , se define

el subespacio propio asociado a λ por
Sλ := {v ∈ V : T v = λv}.
Observaciones:
Sλ = Ker(T − λI), donde I : V → V es la transformación identidad.
θ no es un vector propio de T .
3

Valores y vectores propios

Propiedades

Si λ esvalor propio de T y k ∈ N, entonces:

λk es valor propio de T k , donde T k denota a T compuesto k veces
consigo mismo.
Si T es invertible, entonces λ = 0 y

Teorema

1
λ

es valor propio de T −1 .

Si V tiene dimensión finita y B es una base para V ,
entonces
λ ∈ σ(T ) ⇐⇒ Det([T − λI]B ) = 0.

4

Valores y vectores propios
Definición: Valor propio de una matriz.

Sea A ∈ Mn(C). Un escalar

λ ∈ C es un valor propio de A si existe x ∈ Cn , x = θ, tal que:
Ax = λx.

Cada x ∈ Cn , x = θ, que satisface la igualdad anterior se llama un vector
propio de A asociado a λ.
Definiciones
σ(A) := {λ ∈ C : λ es valor propio de A}

( espectro de A )

Sλ := {x ∈ Cn : Ax = λx}.
La expresión Det(A − λI) es un polinomio de grado n en la variable
λ, se llama polinomiocaracterístico de A y Det(A − λI) = 0 es la
ecuación característica de A.
Observación:

Cada matriz A ∈ Mn (C) tiene n valores propios en C

(contando su multiplicidad).
5

Valores y vectores propios
Definición

Sea A ∈ Mn (C) y sean λ1 , . . . , λk sus valores propios

diferentes tales que
Det(A − λI) = (λ1 − λ)r1 · · · (λk − λ)rk
donde r1 + · · · + rk = n.
Para cada i = 1, . . . , k sedefinen la
multiplicidad algebraica de λi por ri y la multiplicidad geométrica de λi
por gi := dim(Sλi ).
Propiedades

Sea A ∈ Mn (C), entonces:

para cada λi ∈ σ(A), gi ≤ ri ,
Det(A) = λr1 · · · λrk ,
1
k
σ(At ) = σ(A),
A es invertible ⇐⇒ 0 ∈ σ(A),

6

Valores y vectores propios
Si A, B ∈ Mn (C) son semejantes, entonces:

Teorema

Det(A − λI) = Det(B − λI).
σ(A) = σ(B).Det(A) = Det(B).
tr(A) = tr(B).
Observación

Si V tiene dimensión finita y B es cualquier base de V ,

entonces
λ ∈ σ(T ) ⇐⇒ λ ∈ σ( [T ]B ) ∩ K.
∀v ∈ V : T v = λv ⇐⇒ [T ]B [v]B = λ[v]B .
7

Valores y vectores propios
Ejemplo

El operador T : K2 −→ K2 definido por


T

x
y





=

y
−x




tiene como matriz asociada (respecto a la base canónica de K2 ) a

0 1

.
A=
−1 0
La ecuación característica de A es p(λ) := Det(A − λI) = λ2 + 1 = 0 y
tiene raices λ1 = −i y λ2 = i, luego σ(A) = {−i, i}.
Si K = C, entonces λ1 y λ2 son también los valores propios T .
Sin embargo, si K = R entonces, T no tiene valores propios.
8

Valores y vectores propios
Teorema

Si λ1 , . . . , λk son valores propios de T distintos entre sí y

v1 , . . . ,vk son los vectores propios asociados, entonces {v1 , . . . , vk } es
l.i..

Corolario

Si λ1 , . . . , λk son valores propios de T distintos entre sí y

Bi es una base para el espacio propio Sλi . Entonces B = B1 ∪ · · · ∪ Bk
es una base para S := Sλ1 ⊕ · · · ⊕ Sλk .

Definición

Sea V un espacio de dimensión finita. Un operador lineal

T : V −→ V se dice diagonalizable si existe...