ALPHA CHIANG CAP 13

ALPHA CHIANG CAP 13
13.1 LA PROGRAMCION LINEAL Y LAS CONDICIONES DE KUNT-TUCKER
a)Condiciones de no negatividad:
Como primer paso se considera unproblema simple de optimización de la función z = f(x1)
sujeta a la restricción que la variable de elección sea no negativa, es decir, x1
≥ 0.
Naturalmenteesta condición es equivalente a – x1
≤ 0, entonces incorporando una variable de
holgura s ≥ 0 y llamando µ al multiplicador de lagrange, la funciónlagrangiana resulta:
F(x1, µ, s) = f(x1) + µ (- x1 + s) = 0
Las condiciones necesarias son:
∂F/∂x1 = df/dx1 – µ = 0
∂F/∂µ = - x1 + s = 0
∂F/∂s = µs = 0
De laprimera se desprende que µ = df/dx1. Entonces se pueden dar solamente tres tipos de
extremos:
a) Extremo local interno lo que implica que x1 óptimo (x1*)es positivo y su derivada
es nula, es decir que µ = 0.
b) Extremo local de frontera lo que implica que x1* es igual a cero y su derivada es
nula
c) Puntode frontera lo que implica que x1* = 0 y su derivada es positiva si es un
problema de minimización, o negativa si es un problema de maximización.
Estascondiciones se pueden resumir de la siguiente manera:
df/dx1≤ 0x1≥ 0x1 df/dx1 = 0 [Maximización]
df/dx1≥ 0x1≥ 0x1 df/dx1 = 0 [Minimización]
Ampliando elproblema para casos en que existen n variables de elección, es decir:
Extremar z = f(x1, x2, ..., xn)
sujeto a xj≥ 0 j:1, 2, ..., n
Las condiciones deprimer orden para un óptimo son
df/dxj≤ 0xj≥ 0xj df/dxj = 0 j: 1, 2, ..., n [Maximización]
df/dxj≥ 0 xj≥ 0xj df/dxj = 0 j: 1, 2, ..., n [Minimización]