Análisis derivativos de funciones

A) CALCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES.
Noción intuitiva de límite y límites laterales.
Limite
La definición formal de límite ha tenido tradición de ser algo complicada para los estudiantes que la ven por primera vez. Vamos a presentarla primero y luego veremos detalladamente que es lo que nos dicen en forma tan sus cinta.
Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L oLimites laterales
Obsérvese que sobre la recta real estamos en condiciones de acercarnos a una valor particular de x bien sea por valores más grandes (a la derecha) o por valores más pequeños (a la izquierda). Debido a que existen funciones que no se comportan del mismo modo a la izquierda y a la derecha de un valor dado, el concepto de límite lateral puede ayudarnos a dilucidar este tipo decomportamiento. Consideremos por ejemplo la función parte entera de x o escalón unitario (usada frecuentemente para exponer la idea de límites laterales), denotada por E(x) y que se define de la siguiente forma
E(x) = [x], donde [x] es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que, E(x) ≤ x < E(x) + 1.
Cuando tiende a un número por la derecha
El límite por la derecha de f(x) cuando x tiende aa por la derecha es igual a L, si ∀ε>0, existe un δ > 0 tal que si 0 < x - a < δ, entonces |f(x) - L| < ε. Lo anterior se denota como:

Cuando tiende a un número por la izquierda
El límite por la izquierda de f(x) cuando x tiende a a por la derecha izquierda es igual a L, si ∀ε>0, existe un δ > 0 tal que si 0 < a - x < δ, entonces |f(x) - L| < ε. Lo anterior se denota como:

Teorema de loslímites
Sean f y g funciones con límites en c, n un número entero y k una constante. Se tiene entonces que:
 El límite de una constante es la constante:


 El límite de una constante por una función es igual a la constante por el límite de la función:

 El límite de una suma es igual a la suma de los límites:

 El límite de un producto es igual al producto de los límites:

El límite de un cociente es igual al cociente de los límites, siempre y cuando el denominador evaluado en el límite no sea cero.
, siempre y cuando
 El límite de la potencia de una función es igual a la potencia enésima del límite de la función:

 El límite de un radical enésimo de una función es igual al radical enésimo del límite de la función:


Límites de funciones determinadose indeterminados
Límite determinado. Un límite es determinado cuando al evaluar la función en el valor al cual tiende x este límite existe o es un número real

Límite indeterminado. Un límite es indeterminado cuando al evaluar la función en el valor al cual tiende x el límite no existe, es decir da una indeterminación
Polinomiales
Las funciones polinomiales están entre las expresiones mássencillas del álgebra. Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas multiplicaciones repetidas. Debido a esto, con frecuencia se usan para aproximar otras funciones más complicadas. Una función polinomial es una función cuya regla está dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una variable, es decir, la potencia más alta que aparece de x.
Siuna función f está definida por donde son números reales y n es un entero no negativo.
• Entonces, f se llama una Función Polinomial de grado n.

Ejemplo:
1. Para la función
(a) Determine el dominio de la función
(b) Las intercepciones con los ejes
(a) el dominio de las funciones polinomiales son todos los números reales.
(b) Intercepciones con los ejes:
Si
y=6
Lacurva intercepta al eje y en el punto (0, 6)
Si

Por división sintética:
Los factores de 6 son:
Por lo tanto, f tiene un factor de la forma .

El factor , puede descomponerse en:

Finalmente:
Si




Los valores de x son:





La curva corta al eje x en los puntos:
Por lo tanto ahora ya podemos tener una idea más clara de cómo es la...