Analisi Matematico

LÍMITE DE UNA FUNCIÖN EN UN PUNTO.

Concepto.

1)Se pretende determinar a que valor de salida y se aproxima la función cuando las entradas se van aproximando a un valor determinado de x quedesignaremos por la letra a.

Ejemplo:
[pic]
Se nos índica que el valor de salida de la función y=(x+3)/2 es 2 cuando el valor de la x se aproxima a 1.


2)Evidentemente al valor x=a nos podemosaproximar por la izquierda y la derecha . Surge de esta manera el concepto de límite lateral por la izquierda y por la derecha.
Una función tiene límite en x=a cuando existen los dos límites lateralesy son iguales.

Ejemplo:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4.
El límite de la función es 4 aunque lafunción no tenga imagen en x = 2.
3)Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.
Ejemplo:
Dada la función:
[pic]
Hallar[pic].
[pic]
[pic]
Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 0.

Cálculo del límite en un punto

1)Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales,radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:
[pic]

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden lasx.
[pic]
[pic]
[pic]

2)Cálculo de límites en puntos fuera del dominio de la función.

No podemos calcular [pic]porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), y por tanto x nopuede tomar valores que se acerquen a -2.

Sin embargo si podemos calcular [pic], aunque 3 no pertenezca al dominio, D= [pic]− {2, 3}, porque podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 comoqueramos.
3) ¿Para qué valores de x es más interesante el calculo de un limite?
En valores de x situados en la frontera del dominio de la función.
-Para determinar puntos de discontinuidad....