Analisis de datos experimentales

Análisis de datos Experimentales por Mínimos Cuadrados

AJUSTE DE CURVAS
Uno de los objetivos en el análisis de resultados es el llegar a establecer una relación cuantitativa entre dos o más variables y mediante esta relación poder efectuar predicciones. Por lo general la relación consiste en una ecuación que expresa cómo la variable dependiente (cuyo  valor se desea predecir) es afectada poruna o más variables independientes.
En esta unidad se ilustra la forma de establecer la posible relación de una variable dependiente con otra variable considerada independiente. El primer paso es disponer de una colección de datos obtenidos experimentalmente. Si se simbolizan por X y Y las variables independiente y dependiente respectivamente, y sus valores particulares por X1, Y1, X2, Y2, etc.,en una tabla se dispondrían así:
X
X1
X2
X3
. . . . . . . . .
XN
Y
Y1
Y2
Y3
. . . . . . . . .
YN
 
El siguiente paso es representar los puntos (X1, Y1 ), (X2, Y2) . . . . , (XN, YN) en un sistema de coordenadas rectangulares. El sistema de puntos resultantes se llama  diagrama de dispersión.
Con el diagrama de dispersión es posible representar una curva que se aproxime a los datos,es decir, que siga la tendencia de los mismos. Tal curva se llama curva de aproximación.
 En la figura 5.1 a) , por ejemplo, se ve que los datos experimentales se aproximan bien a una línea recta y se dice que entre las variables existe una relación lineal. En b), existe una relación no lineal.

Las curvas mostradas en la Fig.5.1 se denominan curvas de aproximación y  describen la tendencia delos puntos en el diagrama de dispersión. El problema general de hallar la ecuación de la curva de aproximación que se ajuste mejor al conjunto de datos con los que se obtuvo el diagrama de dispersión se denomina determinación dela CURVA DEAJUSTE.
Una curva de aproximación como la de la Fig.5.1 (a) sugiere una ecuación lineal; (ecuación de la recta) Y = a + bX; mientras que la de la curva en laFig.5.1 (b) sugiere una ecuación cuadrática (parabólica) de la forma Y = a + bX + cX2.
La dispersión de los puntos se debe a los errores que afectan en el proceso de medición tanto a la variable dependiente como a la independiente. En ocasiones puede despreciarse el error en la variable independiente al compararse con el error (o variación aleatoria) de la variable dependiente. Esto dependerá dela situación particular de las causas de error sobre cada variable al realizar el experimento.
ANÁLISIS DE REGRESIÓN
Uno de los propósitos principales de la curva de ajuste es estimar una de las variables a partir de la otra. El proceso de estimación se conoce como regresión. Si Y se va a estimar a partir de X por medio de alguna ecuación la llamamos ecuación de regresión de Y sobre X  y a lacurva correspondiente curva de regresión de Y sobre X.
A continuación se presentan algunos ejemplos de relaciones denominadas funciones o ecuaciones de predicción:
Yc  =  a + bX     (Línea Recta)
Yc =  a + bX + cX2   (Ecuación de segundo grado o cuadrática)
Yc = KXn  o  Yc = aXb   (Ecuación potencial)
Yc = A DX  o  Yc = a bX (Ecuación exponencial)
En estos ejemplos, Yc representa el valorestimado de la variable dependiente a partir del valor X, de la variable independiente.
Existen varios métodos para determinar la ecuación de regresión. El “método de mínimos cuadrados” , que se describe más adelante, se considera el mejor; por fundamentarse en el tratamiento estadístico de los datos experimentales.
 Como se mencionó anteriormente, los errores afectan tanto a la variableindependiente como a la variable dependiente, sin embargo en muy diversos casos la variable independiente puede considerarse sin error (o de error despreciable)  y considerar que la dispersión es debido únicamente a los errores en la variable dependiente. En este caso se considera que para un valor puntual de X (sin error) el valor experimental de Y se aparta del valor que predice la curva de regresión....