Analisis numerico

´ ´ METODOS NUMERICOS CON SCILAB

H´ctor Manuel Mora Escobar e hectormora@yahoo.com hmmorae@unal.edu.co www.hectormora.info April 18, 2010

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´ INDICE GENERAL
1 Preliminares 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Notaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Repaso de algunos conceptos de c´lculo . . . . . . . . . . . . a Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . Polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notaci´n O grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Orden de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N´meros en un computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u Truncamiento y redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Error absoluto y relativo . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 1 1 2 5 7 11 12 15 17 18 19 21 22 22 24 24 25 26 28

1.10 Errores lineal y exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Condicionamiento de un problema . . . . . . . . . . . . . . . 2 Soluci´n de sistemas lineales o 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 En Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . o M´todos ingenuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Sistema diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema triangular superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 N´mero de operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . u i

ii 2.6 2.7

´ INDICE GENERAL Sistema triangular inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M´todo de Gauss . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.7.1 2.8 2.9 N´mero de operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . u 29 30 37 39 41 46 49 49 52 58 59 61 62 62 63 67 72 76 76 82 83 83 96 96

Factorizaci´n LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o M´todo de Gauss con pivoteo parcial . . . . . . . . . . . . . . e

2.10 Factorizaci´n LU =PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . o 2.11 M´todo de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.11.1 2.11.2 2.11.3 2.11.4 2.12 Matrices definidas positivas . . . . . . . . . . . . . . Factorizaci´n de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . o N´mero de operaciones de la factorizaci´n . . . . . . u o Soluci´n del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . o

Soluci´n por m´ o ınimos cuadrados . . . . . . . . . . .. . . . . 2.12.1 En Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.2 2.12.3 Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.13 Sistemas tridiagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14 C´lculo de la inversa a 3 M´todos iterativos e 3.1 3.2 M´todo de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . e Normas vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 3.3 En Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Normas matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 En Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 3.5 3.6 3.7

Condicionamiento de una matriz . . . . . . . . . . . .. . . .

M´todo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 e M´todo iterativo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 e M´todo de sobrerrelajaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 e o

´ INDICE GENERAL 3.8 3.9

iii

M´todos de minimizaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 e o M´todo del descenso m´s pendiente . . . . . . . . . . . .. . . 112 e a

3.10 M´todo del gradiente conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 e 4 Soluci´n de ecuaciones no lineales o 4.1 4.2 120

En Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 M´todo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 e 4.2.1 Orden de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

M´todo de la...