analisis

UNSa - Facultad de Cs. Exactas
Lic. en Matem´tica
a

Segundo cuatrimestre 2014
Estructuras Algebraicas 1

´
Trabajo Practico N◦ 7: Producto directo y Suma directa.
1. No se puede expresar aS3 como el producto directo de alguna familia de subgrupos
propios de S3 . Lo mismo es cierto para Z.
2. Dar un ejemplo de grupos Hi , Kj tales que H1 × H2
isomorfo a ning´n Kj .
u

K1 × K2 perocon Hi no

3. Sea G un grupo abeliano con subgrupos H y K. Mostrar que G H ⊕ K si y s´lo si
o
π
π
ι1
ι2
existen homomorfismos H −1 G −2 K y K − G − H tales que π1 ι1 = 1H , π2 ι2 =
→
→
→ →1K , π1 ι2 = 0, π2 ι1 = 0 y ι1 π1 (x) + ι2 π2 (x) = x para todo x ∈ G.
4. Sean G, H grupos c´
ıclicos finitos entonces G × H es c´
ıclico si y s´lo si (|G|, |H|) = 1.
o
5. Todo grupo abelianofinitamente generado G = e en el cual todo elemento (distinto
de e) tiene orden p es isomorfo a Zp ⊕ . . . ⊕ Zp (n sumandos, para alg´n n 1).
u
6. Sean H, K, N subgrupos normales no triviales de un grupoG y supongamos que
G = H × K. Probar que N esta en el centro de G o N interseca a H o K no
trivialmente. Dar ejemplos para mostrar que ambas posibilidades pueden ocurrir.
7. Si un grupo G es elproducto directo interno de los subgrupos H, K entones G/H
K y G/K H.
8. Sea {Ni : i ∈ I} una familia de subgrupos de un grupo G. Entonces G es el producto
directo d´bil de {Ni : i ∈ I} si y s´lo si:e
o
(a) ai aj = aj ai para todo i = j y ai ∈ Ni , aj ∈ Nj ,
(b) todo elemento distinto de la identidad se puede expresar un´
ıvocamente como un
producto ai1 . . . ain , donde i1 , . . . , inson elementos distintos de I y e = aik ∈ Nik
para todo k.
9. Sea {Gi }i∈I una familia de grupos y J ⊂ I. El mapa α : Πj∈J Gj −→ Πi∈I Gi dado
por {aj } −→ {bi }, donde bj = aj para todo j ∈ J y bi =ei (identidad de Gi ) para
todo i ∈ I − J es un homomorfismo de grupos y Πi∈I Gi /α(Πj∈J Gj ) Πi∈I−J Gi .
10. Sean Hi ¡Gi con i = 1, 2 dar un ejemplo para mostrar que cada una de las siguientes...