ANOVA

-1-

T1
x11
!
x1n1

T2
x21
!
x2n2

… Tr
… xr1
"
!
… x rnr

INTRODUCCIÓN AL
ANÁLISIS DE LA VARIANZA

José Luis Vicente Villardón
Departamento de Estadística

-2-

ANALISIS DE LA VARIANZA
DISEÑO DE UNA VIA
Disponemos de r poblaciones, generalmente correspondientes a r
tratamientos experimentales. Cada uno de los tratamientos Ti, (i=1,
…, r) se supone que tienedistribución normal con media µi y
varianza σ2, común a todos ellos, es decir se trata de poblaciones
normales y homoscedásticas. De cada una de las poblaciones (o
tratamientos), tomamos una muestra de tamaño ni.
Las observaciones obtenidas se pueden recoger en una tabla de la
forma

T1
x11
!
x1n1

T2
x21
!
x2n2

… Tr
… xr1
"
!
… x rnr

es decir xij es la observación j del grupoexperimental i.
Llamaos x1,…, xr a las medias muestrales de los grupos y
media de todas las observaciones.

x

a la

Cuando se trata de un experimento diseñado, es decir, cuando se
trata de la aplicación de r tratamientos a un conjunto de unidades
experimentales, estas deben seleccionarse para que sean
homogéneas, de forma que no se introduzcan factores de variación
distintos del que sedesea controlar. La asignación de los
tratamientos a cada una de las unidades debe hacerse al azar. Es lo
que se conoce como diseño “completamente al azar”.
El modelo matemático subyacente a este tipo de diseño es

-3-

xij = µi + ! ij
xij = µ + ( µ i " µ ) + ! ij
xij = µ + # i + !ij
donde µi = µ + ! i es la cantidad que depende del tratamiento
usado (descompuesta en una media global yun efecto del
tratamiento) y !ij es la cantidad que depende solamente de la
unidad experimental y que se identifica con el error experimental.
La hipótesis de que los distintos tratamientos no producen ningún
efecto (o la de que las medias de todas las poblaciones son iguales)
se contrasta mediante el análisis de la varianza de una vía,
comparando la variabilidad entre grupos con lavariabilidad dentro
de los grupos.

H0 : µ1 = … = µr = µ
Ha : !i, j / µ i " µ j
El análisis de la varianza se basa en la descomposición de la
variabilidad total en dos partes, una parte debida a la variabilidad
entre las distintas poblaciones o tratamientos (variabilidad entre
grupos o variabilidad explicada por el diseño) y otra parte que
puede considerarse como la variabilidad intrínseca delas
observaciones (variabilidad dentro de los grupos o residual).

Q = QE + QR
La variabilidad entre grupos

r

QE = " ni ( xi ! x ) 2
i=1

mide la discrepancia entre los grupos y la media global, de forma
que si no hay diferencias entre ellos (la hipótesis nula es cierta)
obtendremos variabilidades pequeñas. Si, por el contrario, la

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hipótesis nula es falsa, cabe esperar quela variabilidad entre grupos
sea grande.
La variabilidad dentro de los grupos

r

ni

QR = " " ( xij ! xi )2
i=1 j=1

mide la variabilidad intrínseca de las observaciones, es decir, si el
experimento está bien diseñado y no se incluyen factores de
variación distintos al estudiado, debe ser error puramente aleatorio
producido como resultado de la variabilidad biológica del materialexperimental.
El contraste del Análisis de la varianza se basa en la comparación de
la variabilidad entre y la variabilidad dentro, rechazaremos la
hipótesis nula siempre que la variabilidad “entre” sea grande, pero
utilizando como patrón de comparación la variabilidad “dentro”. Es
decir, aceptaremos un efecto de los tratamientos siempre que estos
produzcan mayores diferencias en las unidadesexperimentales que
las que habría sin la aplicación de los mismos.
Antes de proceder a la comparación hemos de dividir las sumas de
cuadrados por sus correspondientes grados de libertad,
relacionados con el número de observaciones con las que se realiza
el cálculo.
De esta forma obtenemos los cuadrados medios o estimadores de las
variabilidades.
La información completa se resume en la...