Aplicación de las ecuaciones diferenciales a la economia

CAPITULO I: APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA ECONOMIA

- MERCADO DE COMPETENCIA PERFECTO:
- Se llama mercado de competencia perfecta, a aquel mercado, ideal, que regula su actividad, es decir la cantidad de bienes en el así como el precio de los mismos de una manera autónoma, las empresas que participan en este tipo de mercado tienen un poder nulo.
- Para que este mercadofuncione deben existir numerosos ofertantes y demandantes, si hubiese una diferencia entre ambos grupos empezarían a influenciar en el mercado.
- Cuando existe un número grande de empresas que operan en el mercado y cuyo producto es homogéneo, la información es completa para todos los que operan en el mercado, tanto oferentes como demandantes, y tanto el precio p(t) como la cantidad está definidapor la oferta S(t) y la demanda D(t) del mercado, la entada al mercado es libre y fácil.
- en este tipo de mercados existe el equilibrio es decir un punto en el cual la oferta y la demanda son iguales, por tanto las cantidades demandadas y ofertadas son iguales y el precio es también igual.
-OFERTA Y DEMANDA:

- La demanda es el número de unidades que desean adquirir los consumidores en undeterminado tiempo t, y como sabemos que el precio de un producto varia con el tiempo se puede expresar el precio como p(t) pero la demanda no solo puede depender del precio en un instante de tiempo sino también de la dirección que creen los consumidores que tomara este precio es decir la tasa de cambio de este precio o también llamado la derivada de este p^' (t) , tomemos, en resumen la demandaD(t) puede escribirse como:
D=f( p(t),p^' (t) )
- llamaremos a f la función demanda.
- en caso de la oferta pasa exactamente lo mismo es decir la demanda S(x) depende también de p(t) y puede depender también de p^' (t) ; y puede escribirse como:
S=g( p(t),p^' (t) )
- llamaremos a g la función oferta.
- pero hay una forma de poder relacionar las ecuaciones de la oferta y de la demanda,para eso se definirá:

- PRINCIPIO ECONÓMICO DE LA OFERTA Y DEMANDA:

- es precio de un bien en cualquier instante de tiempo t está determinado por la condición de que la oferta en un instante de tiempo t sea igual a la demanda, esto suponiendo que sea un mercado de competencia perfecta, usando lo anteriormente definido se tiene que:
f( p(t),p^' (t) )= g( p(t),p^' (t) )
- Esto secumplirá única y exclusivamente si se especificase que es un mercado de competencia perfecta.
- la ecuación es una ecuación diferencial de primer orden, ahora corresponde ver la forma que deben tomar ambas funciones, para este caso tomaremos las más sencillas que son:
f( p(t),p^' (t) )=a_1 p(t)+a_2 p^' (t)+a_3
g( p(t),p^' (t) )=b_1 p(t)+b_2 p^' (t)+b_3
- ahora conociendo ya las funciones f y glas reemplazamos y resolvemos la ecuación diferencial:
a_1 p(t)+a_2 p^' (t)+a_3=b_1 p(t)+b_2 p^' (t)+b_3
(a_2-b_2 ) p^' (t)+(a_1-b_1 ) p(t)=(b_3-a_3)
-Asumamos además que: a_1≠b_1, a_2≠b_2, a_3≠b_3 en ese caso se puede escribir la ecuación diferencial como:
p^' (t)+((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) ) p(t)=((b_3-a_3))/((a_2-b_2 ) )
-Resolviendo:
p(t)=e^(-∫▒((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) ) dt)(∫▒e^(∫▒((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) ) dt) ((b_3-a_3 ))/((a_2-b_2 ) ) dt+c)
p(t)=e^(-((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) ) t) (∫▒e^(((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) ) t) ((b_3-a_3 ))/((a_2-b_2 ) ) dt+c)
p(t)=e^(-((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) ) t) (e^(((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) ) t) ((b_3-a_3 ))/((a_1-b_1 ) )+c)
p(t)=(((b_3-a_3 ))/((a_1-b_1 ) ))+e^(-((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) ) t) c
- Cuando t=0, p(t)=p_0, aplicamos esa condicióninicial en la ecuación diferencial:
p_0=(((b_3-a_3 ))/((a_1-b_1 ) ))+c
p_0-(((b_3-a_3 ))/((a_1-b_1 ) ))=c
- Ahora finalmente la ecuación diferencial queda de la forma:
p(t)=(((b_3-a_3 ))/((a_1-b_1 ) ))+e^(-((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) ) t) (p_0-(((b_3-a_3 ))/((a_1-b_1 ) )) )
- De esto se pueden sacar 3 posibles casos:
-Caso 1:
- p_0=((b_3-a_3 ))/((a_1-b_1 ) ) en este caso nos...