aplicacion de matrices para transformaciones geometricas

APLICACIONES DE MATRICES PARA TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS – ING. INFORMATICA

Algunas ideas básicas
Matriz es un cuadro de números o símbolos algebraicos ordenados en filas y columnas de manera que se corresponden entre sí.
Se suele encerrar entre paréntesis o corchetes, nunca entre dos barras verticales. Esto último se reserva para los determinantes. Las matrices son una purarepresentación: no tienen valor; los determinantes, sí.
La Matriz “m x n” tiene m Filas y n Columnas.
es el elemento de una matriz situado en la fila i (una de las m que hay) y en la columna j (una de las n).
La matriz vertical de dos filas y una columna representa al punto de coordenadas(x,y) en el plano
Producto de matrices. Sean las dos matrices:

donde n = p, es decir, el número decolumnas de la primera matriz A es igual al número de filas de la segunda matriz B. Esta exigencia obliga a un determinado orden de los factores: el producto de matrices no goza de la propiedad conmutativa. El producto A *B se define así:
El elemento que ocupará el lugar ij en la matriz producto es la suma de los productos de cada elemento de la fila i de la matriz A por el correspondiente de lacolumna j de la matrizB.
Como signo de multiplicación empleo indistintamente x ó *. Veamos un ejemplo en el que el punto (1,1) se transforma en el (3,2) mediante la aplicación de la matriz transformadora multiplicada por la correspondiente al punto (1,1):


Por lo dicho antes, la abscisa se pone arriba y la ordenada abajo. Esta operación producto es muy útil para resolver sistemas de ecuacionesA propósito del producto de dos matrices cuadradas, se muestra a continuación un ejemplo de ejecución y el esquema de generación de los elementos de la matriz producto. Se muestra el producto de una matriz por su inversa. Las matrices del ejemplo son 3 x 3 aunque las que venimos manejando son distintas.

El producto obtenido esla matriz unidad ya que su determinante vale 1.


Y ya quehablamos de matriz inversa será bueno detenernos en ella. Por []se designa a la matriz inversa de [T], y se obtiene así:



Veamos qué quiere decir todo esto.
[T] es el determinante de la matriz T y vale 2*1-1*1 = 1 (los productos en cruz, restados).
Adj[T] es la matriz adjunta de la matriz T. Se obtiene sustituyendo cada uno de sus elementos, por su adjunto. Adjunto de un elemento es su menorcomplementario, con el signo que le corresponde (alternados + y -). Como aquí sólo manejamos matrices y determinantes 2*2, la cosa resulta sencilla (los elementos se corresponden en diagonal).
Para la matriz
1ª fila: el adjunto de 2 es 1; el adjunto de 1 es -1.
2ª fila: el adjunto de 1 es -1; el adjunto de 1 es 2.
Así pues, Adj[T]será:
Ya sólo falta hallar la traspuesta de esta última matriz,cosa que consiste en cambiar las filas por columnas; ello nos conduce a una matriz igual a la que tenemos, como se comprueba fácilmente. Naturalmente, no ocurre así siempre.
Por tanto,



TRANSFORMACIONES
Después de repasar estas ideas, estamos en condiciones de estudiar algunas transformaciones en las que intervienen las matrices. Comenzaron éstas su andadura en 1850 y se han aplicado amultitud de campos: informática. álgebra, geometría, cálculo, física, etc. Recientemente han alcanzado un desarrollo sorprendente en aplicaciones de animación: en definitiva, transformación de figuras en espacios de dos y tres dimensiones.
POR EJEMPLO, el cuadrado OABC se puede transformar en el paralelogramo O A´B´C´ mediante la matriz transformadora que convierte los puntos del cuadrado en losdel romboide.

Esa transformación se consigue multiplicando la matriz T por la matriz de las coordenadas del punto del cuadrado que queramos transformar. Las matrices a multiplicar hay que ponerlas en el orden exigido según se vio.
Las coordenadas de B son (1,1) [abscisa x = 1, ordenada y = 1]. Cada cuadradito tiene en este caso 0,5 de lado. El punto origen B se transforma en su imagen B´...