Aplicaciones del C´alculo Diferencial

Tema 3
Aplicaciones del C´lculo Diferencial
a
3.1

Derivaci´n de funciones definidas impl´
o
ıcitamente.

Definici´n 3.1 Todo campo escalar f : IR2 −→ IR define la superficie z = f (x, y) .
o
Decimos que esta superficie est´ expresada en forma expl´
a
ıcita. Tambi´n define una supere
ficie el conjunto de nivel, f (x, y, z) = 0, de un campo escalar f : IR3 −→ IR . Decimos
en este caso quela superficie est´ expresada en forma impl´
a
ıcita.
Ejemplo I
o
ıcita de la esfera con centro el
x2 + y 2 + z 2 = 1 representa la ecuaci´n en forma impl´
origen√ de radio 1. Esta ecuaci´n impl´
y
ıcita define dos campos escalares expl´
ıcitamente
√ o
z = + 1 − x2 − y 2 y z = − 1 − x2 − y 2 . En general, no es posible expresar una ecuaci´n
o
impl´
ıcita en forma expl´
ıcita. Pero sinembargo podemos obtener alguna informaci´n
o
adicional.
Ejemplo II
Sea la ecuaci´n impl´
o
ıcita y 2 + xz + z 2 − ez − 4 = 0 .
No es posible despejar z = f (x, y) , obtener las ecuaciones expl´
ıcitas de la superficie
de nivel. Sin embargo, si podemos calcular sus derivadas parciales aplicando la regla de
´
la cadena. Estas se calculan derivando en la ecuaci´n impl´
o
ıcita, y 2 + xf(x, y) + f 2 (x, y) −
ef (x,y) − 4 = 0, respecto de las variables x e y.

∂f
∂f
∂f
+ 2f (x, y)
− ef (x,y)
= 0, y por
Derivando respecto de x, se tiene: f (x, y) + x
∂x
∂x
∂x
∂f
∂f
−z
lo tanto:
(x + 2f (x, y) − ef (x,y) ) = −f (x, y). De donde obtenemos
=
.
∂x
∂x
x + 2z − ez
1

2

Tema 3. Aplicaciones del C´lculo Diferencial
a

An´logamente
a

∂f
−2y
=
∂y
x +2z − ez

Hacemos notar que sin necesidad de conocer expl´
ıcitamente z = f (x, y) , hemos
podido calcular sus derivadas en puntos particulares de ella.
Antes de enunciar el teorema de la funci´n impl´
o
ıcita vamos a ver algunos casos sencillos
donde ya sabemos aplicar dicho teorema:
Motivaci´n:
o
1. Supongamos que tenemos un sistema lineal de m ecuaciones con n + m inc´gnitas.
o
E1E2
.
.
.

≡ a11 x1
≡ a21 x1

Em ≡ am1 x1

+ · · · + a1n xn + b11 z1 + b12 z2 + · · · + b1m zm = 0
+ · · · + a2n xn + b21 z1 + b22 z2 + · · · + b2m zm = 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
+ · · · + amn xn + bm1 z1 + bm2 z2 + · · · + bmm zm = 0.

El Teorema de Rouch´-Fr¨benius nos asegura que si el determinante
e o
b11
b21
.
.
.

b12
b22
.
.
.

bm1 bm2

· · ·b1m
· · · b2m
.
...
.
.
· · · bmm

= 0,

entonces, en las ecuaciones E1 , · · · , Em podemos despejar las variables z1 , · · · , zm .
En otras palabras, podemos expresar las variables z1 , · · · , zm en funci´n de las vario
ables independientes x1 , · · · , xn .
El Teorema de Rouch´-Fr¨benius resuelve el problema de despejar inc´gnitas en los
e o
o
casos de ecuaciones y sistemasde ecuaciones lineales
2. Consideremos ahora el problema de despejar una inc´gnita en una ecuaci´n no lineal
o
o
f (x, y) = 0, los puntos que satisfacen esta ecuaci´n son aquellos que pertenecen a
o
una curva de nivel de la funci´n escalar f (x, y).
o
Nos planteamos encontrar los puntos (x0 , y0 ) de dicha curva en los que es posible
despejar la variable y. Despejar la variable y significaencontrar un cierto entorno
o
E(x0 ) donde exista una funci´n y = g(x) tal que f (x, g(x)) = 0. Si suponemos
o
f (x, y) diferenciable, este problema se puede reducir al de despejar una inc´gnita
en una ecuaci´n lineal, ya que despejar una variable de la ecuaci´n f (x, y) = 0 en el
o
o
entorno de un punto (x0 , y0 ) es aproximadamente igual a despejar la misma variable
en la ecuaci´n quedefine la recta tangente a la curva de nivel en el entorno del
o
mismo punto. Dicha ecuaci´n como ya sabemos es
o
∂f (x0 , y0 )
∂f (x0 , y0 )
(x − x0 ) +
(y − y0 ) = 0.
∂x
∂y

3

3.1. Derivaci´n de funciones definidas impl´
o
ıcitamente.

Entonces podremos despejar la variable y si
0.

∂f (x0 ,y0 )
∂y

= 0 y la variable x si

∂f (x0 ,y0 )
∂x

=

Para fijar ideas, si...