Aplicaciones De Ec. Diferenciales

4.3 Aplicaciones
Osciladores
A un resorte, que se estira 50cm al aplicarle una fuerza de 4N, se le cuelga un peso de 19.6N. a este peso se le aleja de su posición de equilibrio jalándolo 1m haciaabajo. Si se suelta el peso, estudiar el movimiento en los casos: a) No hay resistencia del aire, b) si la resistencia del aire es 8dxdt y c) si además de la resistencia del aire hay una fuerzaaplicada al peso de 80 sen 2t.
El peso W del objeto es 19.6 y como W=mg, la masa
m=wg=19.69.8=2 kg
a) Sea x el alargamiento del resorte, por la ley de Hooke FT=kx; en este caso: FT=4N para x=0.5m.Entonces k=40.5=8.
Además Fb=0 y Ft=0.
La ecuación del sistema es: md2xdt2=-kx
O sea x´´+4x=0
Cuya solución es C1cos2t+C2 sen 2t.
Aplicando las condicionesiniciales: cuando t=0, x=1 y x´=0 se obtiene C1=1, C2=0. Por tanto: x=cos2t representa un movimiento armónico de amplitud 1m, + periodo: 2π2=π seg y frecuencia: 22π=1π=0.318 ciclos/segundo
b) Eneste caso la ecuación es:
md2xdt2=-kx-8dxdt
x´´+4x´+4x=0
Cuya solución es: x=e-2t(C1+C2t)
Aplicando de nuevo las condiciones iniciales:
x=e-2t(1+2t)
El factor de amortiguamiento es e-2t.
c) Eneste caso, tenemos la ecuación:
md2xdt2=-8x+80 sen 2t-8dxdt
x´´=-4x-10 sen 2t-4x´
x´´+4x´+4x=40 sen 2t.
Su solución es x=xh+xp, donde: xh=e-2t(C1+C2t) yxp=-5cos2t.
Para las condiciones iniciales dadas:
x=e-2t6-12t-5cos2t,
La parte x=e-2t6-12t representa un movimiento transitorio -5cos2t. es el movimiento estable.

Caída libre y leyes de movimientoUn paracaidista junto con su paracaídas cae partiendo del reposo. El peso total es ω kilogramos. Sobre el sistema actúa una fuerza debida a la resistencia del aire que es proporcional a la velocidad.Si la caída es vertical, hallar:
a) La ecuación del movimiento
b) La ecuación con los siguientes datos: ω=98 kg y k=10.
c) La distancia recorrida por el paracaidista.

a) La fuerza...