Aplicaciones Matematicas En Mathlab

Aplicaciones Matem´ticas en Matlab a
Universidad Privada Boliviana Facultad de Ingenier´ ıa A. Avila F. Mejia 19 de junio del 2012
Resumen Se hicieron tres programas en Matlab que calculan distancias en espacios tridimensionales ya sea de una recta a otra recta o de un punto a un plano, adem´s de graficarlos. a El primer programa calcula la distancia entre un punto y un plano adem´s de mostrarla ecuaci´n del plano de la forma: a o Ax + By + Cz = D (1)

Donde: D= Es el producto escalar de un punto del plano (Po) y el vector → − Normal ( N ) → − N (A,B,C) es el vector Normal del plano El segundo programa calcula tambi´n la distancia entre un punto y e un plano, sin embargo este programa muestra la ecuaci´n del plano o de la forma: A(x − xo) + B(y − yo) + C(z − zo) = 0. (2)

Donde: →− N (A,B,C) es el vector Normal del plano. Po(xo,yo,zo) es un punto perteneciente al plano. Finalmente el tercer programa calcula la distancia entre dos rectas, mostrando su ecuaci´n de la forma: o x − xo y − yo z − zo = = A B C (3)

1

Donde: → − (A,B,C) es el vector direcci´n a o Po(xo,yo,zo) es un punto perteneciente a la recta

1.
1.1.

Introducci´n o
Construcciones en el EspacioTridimensional

Los razonamientos sobre la construcci´n de los ejes coordenados son igualo u mente v´lidos para un punto en el espacio y una terna ordenada de n´ meros, a sin m´s que introducir una tercera recta perpendicular a los ejes X e Y: el a eje Z. Es decir, cada uno de sus puntos puede ser localizado especificando tres n´ meu ros dentro de un cierto rango. Por ejemplo, anchura, longitudy profundidad.[1]

1.2.

Producto Escalar

Se refiere a la multiplicaci´n de dos puntos t´rmino por t´rmino, sumando o e e estos de tal forma que como resultado sale un escalar. Cuando los vectores son perpendiculares su producto escalar es 0 (Cero).[2]

1.3.

Producto Vectorial

Es la multiplicaci´n de dos puntos o vectores poni´ndolos en forma de o e matriz para sacar sudeterminante. La diferencia es que se queda sin sumar, por lo que el resultado es un vector o un punto. (El vector que resulta de este determinante es perpendicular a los vectores que se multiplican, y su m´dulo o coincide con el ´rea del paralelogramo que forma dichos vectores.)[2] a

1.4.

Ecuaciones de la Recta en el Espacio

Para hallar la ecuaci´n de una recta, es necesario conocer un punto y el ovector direcci´n de la misma. Una recta obtenida a partir de un punto Po(Xo, o Yo, Zo) y un vector direcci´n − (A,B,C) se puede expresar de las siguientes o → a formas:[3]

2

Ecuaci´n Vectorial o Donde: → − es el Vector direcci´n a o

→ L = P o + t(− ) a

(4)

1.5.

Ecuaciones del Plano en el Espacio

Para hallar la ecuaci´n de un plano, es necesario saber un punto del plano o ysu Vector Normal, en caso de no conocer el Vector Normal del plano, es necesario conocer tres puntos del mismo, sus ecuaciones son: → − Ecuaci´n del Plano de Po=(Xo,Yo,Zo) y N (A,B,C) o A(X − Xo) + B(Y − Y o) + C(Z − Zo) = 0 Ecuaci´n del Plano conociendo tres puntos o (P − P o) ◦ [(P 1 − P o) × (P 2 − P o)] = 0 (6) (5)

1.6.

Distancia M´ ınima entre dos puntos
D= √ ((a1 − b1)2 + (a2 − b2)2+ (a3 − b3)2 ) (7)

Donde: El primer punto es P1(a1,a2,a3) El segundo punto es P2(b1,b2,b3)[3]

1.7.

Distancia M´ ınima entre un punto y una recta
D= → |(P e − P o) × (− )| a → −| |a (8)

Donde: Pe es el punto distante a la recta → Po es un punto de la recta − es el vector direcci´n de la recta a o

3

1.8.

Distancia M´ ınima entre dos Rectas
→ → − − |(P 1 − P 2) ◦ (a1 × a2)|D= → → − − |(a1 × a2)| (9)

Donde: P1 es un punto perteneciente a la primera recta P2 es un punto perteneciente a la segunda recta → − a1 es el vector direcci´n de la primera recta o → − a2 es el vector direcci´n de la segunda recta[3] o

1.9.

Distancia M´ ınima entre un punto y un plano
→ − |(P e − P o) ◦ ( N )| D= → − |N | (10)

Donde: Pe es el punto distante al plano Po es un punto...