APUNTE 2 GEOMETRIA ANALITICA NM2 MAT2 2 1

APUNTE DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
La idea que llevó a la geometría analítica fue: a cada punto en un plano le corresponde un par
ordenado de números y a cada par ordenado de números le corresponde un punto en un plano.
Fue inventada por René Descartes y por Pierre Fermat, a principios del siglo XVII, y como vimos,
relaciona la matemática y el álgebra con la geometría por medio de las correspondenciasanteriores.
Además, Descartes y Fermat observaron, y esto es crucial, que las ecuaciones algebraicas
corresponden con figuras geométricas. Eso significa que las líneas y ciertas figuras geométricas se
pueden expresar como ecuaciones y, a su vez, las ecuaciones pueden graficarse como líneas o figuras
geométricas.
En la práctica, eso significa que cualquier punto del plano se puede localizar conrespecto a un par de
ejes perpendiculares (Plano cartesiano) anotando las distancias desde dicho punto a cada uno de los
ejes.
Por ejemplo, en la figura 1, el punto A está a 1 unidad hacia la derecha en el eje horizontal (x) y a 4
unidades hacia arriba en el eje vertical (y). Las coordenadas del punto A son, por tanto, 1 y 4, y el
punto queda fijado con las expresiones x = 1, y = 4.
Los valorespositivos de x están situados a la derecha del eje y, y los negativos a la izquierda; los
valores positivos de y están por encima del eje x y los negativos por debajo. Así, el punto B de la figura
1 tiene por coordenadas x = 5, y = 0.
En general, una línea recta se puede representar siempre utilizando una ecuación lineal con dos
variables, x e y, de la forma ax + by + c = 0.

Un par de ejesperpendiculares (x e y).
Fundamentos de la Geometría analítica:
1.- Dada la descripción geométrica de un conjunto de puntos o lugar geométrico (una línea o una
figura geométrica) en un sistema de coordenadas, obtener la ecuación algebraica que cumplen dichos
puntos.
Para este objetivo, siguiendo con el ejemplo anterior, todos los puntos que pertenecen a la línea
recta que pasa por A y B cumplen la ecuaciónlineal x + y = 5; lo que expresado de modo general es ax
+ by = c.
2.- El segundo objetivo (o tipo de problema) es: dada una expresión algebraica, describir en términos
geométricos el lugar geométrico de los puntos que cumplen dicha expresión.
Invirtiendo el ejemplo anterior, dada la ecuación algebraica x + y = 5, podemos calcular todos los
valores para x e y que la cumplan y anotados esos valoresen el Plano cartesiano veremos que
corresponden a la recta AB.

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Usando ecuaciones como éstas, es posible resolver algebraicamente esos problemas geométricos de
construcción, como la bisección de un ángulo o de una recta dados, encontrar la perpendicular a una
recta que pasa por cierto punto, o dibujar una circunferencia que pasa por tres puntos dados que no
estén en línea recta.
Lageometría analítica ha tenido gran importancia en el desarrollo de las matemáticas pues ha
unificado los conceptos de análisis (relaciones numéricas) y geometría (relaciones espaciales).

A cada punto le corresponde un par
ordenado, y a cada par ordenado le
corresponde un punto.
La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría (como son también el punto y
el plano).
La rectase puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. Vista en un
plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal
(inclinada a la izquierda o a la derecha).
La línea de la derecha podemos verla, pero a partir de los
datos que nos entrega la misma línea (par de coordenadas
para A y par de coordenadas para B en el plano
cartesiano) es que podemosencontrar una expresión
algebraica (una función) que determine a esa misma recta.
El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que
determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta.
Para comprender este proceder es como si la misma línea solo se cambia de ropa para que la vean o sepan
de su existencia.
Es en este contexto que la Geometría analítica nos enseña que una recta es la...