Apunte_Algebra_2do_Semestre_UChile
Páginas: 227 (56588 palabras)
Publicado: 21 de octubre de 2015
´
Ingenier´ıa Matematica
FACULTAD DE CIENCIAS
´
F´ISICAS Y MATEMATICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
´
Algebra
Lineal 08-2
SEMANA 1: MATRICES
1.
1.1.
Matrices
´
Definiciones basicas
Definici´
on 1.1 (Matriz). Una matriz A, de m filas y n columnas con
(en este apunte
ser´
a
o
´ ) es una tabla de
coeficientes en el cuerpo
doble entrada:
Ã
a11
..
A= .
am1
···
Ã
a1n
.. ,
.
aij ∈
· · ·... amn
Ã,
∀i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
Ã
Notamos tambi´en la matriz como A = (aij ) y denominamos Mmn ( ) al
conjunto de todas las matrices de m filas y n columnas con coeficientes en
el cuerpo .
Ã
(m = m′ ) ∧ (n = n′ ) ∧ (∀i ∈ {1, ..., m}, j ∈ {1, ..., n}, aij = bij )
Un caso especial de matrices son aquellas de n × 1. Estas matrices se llaan matrimar´an posteriormente vectores den . As´ı nuestros vectores ser´
ces de una sola columna.
Ã
Ã
Construimos una estructura algebraica sobre Mmn ( ) a partir de las operaciones definidas en el cuerpo . Se define la suma de dos matrices como
sigue:
∀A, B ∈ Mmn ( ), A + B = (aij + bij )
Ã
Ã
Ê
Por ejemplo, en ( , +, ·):
1
2
3
0 −1 −2
+
0 −1
3
1
2
2
=
1 1
3 0
5
.
0
Es f´acil verificar que
Ã
Proposici´
on 1.1. (Mmn ( ),+) tiene estructura de grupo Abeliano.
´ n. La suma es asociativa y conmutativa, como herencia de
Demostracio
las mismas propiedades en el cuerpo .
El neutro aditivo es
0 ... 0
0 = ... . . . ... ∈ Mmn ( ).
Ã
Ã
0
...
0
1
Ã
Mmn ( )
Definici´
on 1.2 (Igualdad de matrices). Dadas dos matrices A ∈ Mmn ( ), B ∈
Mm′ n′ ( ), diremos que son iguales si y s´
olo si:
Ã
Usa estas notasal
margen para consultar de manera
m´
as r´
apida el material. Haz tambi´
en tus propias
anotaciones.
matriz
Ê
Ã
´
Departamento de Ingenier´ıa Matematica
- Universidad de Chile
Importante: Visita regularmente
http://www.dim.uchile.cl/∼docencia/algebra lineal.
Ah´ı encontrar´as las gu´ıas de ejercicios y problemas, adem´as
de informaci´on acerca de cu´
al ser´
a la din´amica del curso.
A=Bvector de
Ãn
A+B
Ã
0 ∈ Mmn ( )
El inverso aditivo de A = (aij ) es −A = (−aij ). Por ejemplo, en M23 ( ):
=
Luego
i−i
1−1
0+0
−i + i
−
i
0 0
1 −i 0
0+0
0+0
=
=
0
0
=
0 0
0 0
−i 0 0
−1 i 0
= 0.
.
Ã
Definici´
on 1.3 (Producto de matrices). Dadas A = (aij ) ∈ Mmr ( ), B =
(bij ) ∈ Mrn ( ) se define el producto C = AB como aquella matriz
C ∈ Mmn ( ) tal que
Ã
Ã
r
cij =
aik bkj,
i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
k=1
Ã
Claramente C ∈ Mmn ( ).
Ejemplos:
Ê
1. En ( , +, ·),
A=
1
1
⇒C = A·B =
1
1
1 2
∈ M23 ( ), B = 0 2
1 0
1 2 −1 0
−1 0
1 0
0 2 −1 0 =
2 1
2 6
1 0 −1 1
Ê
−1 0
2 1
−1 0
−1 0 ∈ M34 ( )
−1 0
Ê
0 0
−4 1
2. En ( , +, ·),
A = (−i, i, 0) ∈ M13 ( )
i
B = 1 ∈ M31 ( )
0
⇒
C = AB = −i · i + i · 1 + 0 · 0· = 1 + i ∈ M11 ( ).Observaci´
on: La multiplicaci´
on de matrices no es conmutativa.
Por ejemplo en M22 ( ) :
Ê
1
0
0
0
0 0
2 0
=
0 0
,
0 0
0 0
2 0
2
1
0
0
0
=
0 0
.
2 0
Ê
∈ M24 ( ).
´
Departamento de Ingenier´ıa Matematica
- Universidad de Chile
i
0 0
−i 0 0
+
1 −i 0
−1 i 0
−A
A·B
Proposici´
on 1.2.
1. Asociatividad: Si A ∈ Mmn ( ), B ∈ Mnq ( ), C ∈ Mqs ( ), entonces:
A(BC) = (AB)C ∈ Mms ( ).
Ã
Ã
ÃÃ
Ã
2. Distributividad con respecto a la suma: Dadas A ∈ Mmn ( ), B, C ∈
Mns ( ), entonces
Ã
Ã
A(B + C) = AB + AC ∈ Mms ( ).
De igual manera se tiene la distributividad por el otro lado.
´ n. Demostremos la distributibidad, quedando la asociativiDemostracio
dad de ejercicio. Denominando E = A(B + C), se tiene:
n
eij =
aik (bkj + ckj )
k=1
∀i ∈ {1, ..., m}, j ∈ {1, ..., s}.
Como lamultiplicaci´
on distribuye con respecto a la suma en
Ã:
n
eij =
(aik bkj + aik ckj )
k=1
n
=
n
aik bkj +
k=1
aik ckj .
k=1
De la definici´
on de multiplicaci´
on matricial, se obtiene E = AB + AC.
Un caso particular muy importante es el de las matrices cuadradas, es
decir con igual n´
umero de filas y columnas. (Mnn ( ), ·) admite un neutro
multiplicativo, denominado matriz identidad:
1...
Ingenier´ıa Matematica
FACULTAD DE CIENCIAS
´
F´ISICAS Y MATEMATICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
´
Algebra
Lineal 08-2
SEMANA 1: MATRICES
1.
1.1.
Matrices
´
Definiciones basicas
Definici´
on 1.1 (Matriz). Una matriz A, de m filas y n columnas con
(en este apunte
ser´
a
o
´ ) es una tabla de
coeficientes en el cuerpo
doble entrada:
Ã
a11
..
A= .
am1
···
Ã
a1n
.. ,
.
aij ∈
· · ·... amn
Ã,
∀i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
Ã
Notamos tambi´en la matriz como A = (aij ) y denominamos Mmn ( ) al
conjunto de todas las matrices de m filas y n columnas con coeficientes en
el cuerpo .
Ã
(m = m′ ) ∧ (n = n′ ) ∧ (∀i ∈ {1, ..., m}, j ∈ {1, ..., n}, aij = bij )
Un caso especial de matrices son aquellas de n × 1. Estas matrices se llaan matrimar´an posteriormente vectores den . As´ı nuestros vectores ser´
ces de una sola columna.
Ã
Ã
Construimos una estructura algebraica sobre Mmn ( ) a partir de las operaciones definidas en el cuerpo . Se define la suma de dos matrices como
sigue:
∀A, B ∈ Mmn ( ), A + B = (aij + bij )
Ã
Ã
Ê
Por ejemplo, en ( , +, ·):
1
2
3
0 −1 −2
+
0 −1
3
1
2
2
=
1 1
3 0
5
.
0
Es f´acil verificar que
Ã
Proposici´
on 1.1. (Mmn ( ),+) tiene estructura de grupo Abeliano.
´ n. La suma es asociativa y conmutativa, como herencia de
Demostracio
las mismas propiedades en el cuerpo .
El neutro aditivo es
0 ... 0
0 = ... . . . ... ∈ Mmn ( ).
Ã
Ã
0
...
0
1
Ã
Mmn ( )
Definici´
on 1.2 (Igualdad de matrices). Dadas dos matrices A ∈ Mmn ( ), B ∈
Mm′ n′ ( ), diremos que son iguales si y s´
olo si:
Ã
Usa estas notasal
margen para consultar de manera
m´
as r´
apida el material. Haz tambi´
en tus propias
anotaciones.
matriz
Ê
Ã
´
Departamento de Ingenier´ıa Matematica
- Universidad de Chile
Importante: Visita regularmente
http://www.dim.uchile.cl/∼docencia/algebra lineal.
Ah´ı encontrar´as las gu´ıas de ejercicios y problemas, adem´as
de informaci´on acerca de cu´
al ser´
a la din´amica del curso.
A=Bvector de
Ãn
A+B
Ã
0 ∈ Mmn ( )
El inverso aditivo de A = (aij ) es −A = (−aij ). Por ejemplo, en M23 ( ):
=
Luego
i−i
1−1
0+0
−i + i
−
i
0 0
1 −i 0
0+0
0+0
=
=
0
0
=
0 0
0 0
−i 0 0
−1 i 0
= 0.
.
Ã
Definici´
on 1.3 (Producto de matrices). Dadas A = (aij ) ∈ Mmr ( ), B =
(bij ) ∈ Mrn ( ) se define el producto C = AB como aquella matriz
C ∈ Mmn ( ) tal que
Ã
Ã
r
cij =
aik bkj,
i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
k=1
Ã
Claramente C ∈ Mmn ( ).
Ejemplos:
Ê
1. En ( , +, ·),
A=
1
1
⇒C = A·B =
1
1
1 2
∈ M23 ( ), B = 0 2
1 0
1 2 −1 0
−1 0
1 0
0 2 −1 0 =
2 1
2 6
1 0 −1 1
Ê
−1 0
2 1
−1 0
−1 0 ∈ M34 ( )
−1 0
Ê
0 0
−4 1
2. En ( , +, ·),
A = (−i, i, 0) ∈ M13 ( )
i
B = 1 ∈ M31 ( )
0
⇒
C = AB = −i · i + i · 1 + 0 · 0· = 1 + i ∈ M11 ( ).Observaci´
on: La multiplicaci´
on de matrices no es conmutativa.
Por ejemplo en M22 ( ) :
Ê
1
0
0
0
0 0
2 0
=
0 0
,
0 0
0 0
2 0
2
1
0
0
0
=
0 0
.
2 0
Ê
∈ M24 ( ).
´
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- Universidad de Chile
i
0 0
−i 0 0
+
1 −i 0
−1 i 0
−A
A·B
Proposici´
on 1.2.
1. Asociatividad: Si A ∈ Mmn ( ), B ∈ Mnq ( ), C ∈ Mqs ( ), entonces:
A(BC) = (AB)C ∈ Mms ( ).
Ã
Ã
ÃÃ
Ã
2. Distributividad con respecto a la suma: Dadas A ∈ Mmn ( ), B, C ∈
Mns ( ), entonces
Ã
Ã
A(B + C) = AB + AC ∈ Mms ( ).
De igual manera se tiene la distributividad por el otro lado.
´ n. Demostremos la distributibidad, quedando la asociativiDemostracio
dad de ejercicio. Denominando E = A(B + C), se tiene:
n
eij =
aik (bkj + ckj )
k=1
∀i ∈ {1, ..., m}, j ∈ {1, ..., s}.
Como lamultiplicaci´
on distribuye con respecto a la suma en
Ã:
n
eij =
(aik bkj + aik ckj )
k=1
n
=
n
aik bkj +
k=1
aik ckj .
k=1
De la definici´
on de multiplicaci´
on matricial, se obtiene E = AB + AC.
Un caso particular muy importante es el de las matrices cuadradas, es
decir con igual n´
umero de filas y columnas. (Mnn ( ), ·) admite un neutro
multiplicativo, denominado matriz identidad:
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