APUNTE CALCULO

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Ingenier´ıa Matem´
atica
FACULTAD DE CIENCIAS
´
F´ISICAS Y MATEMATICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Introducci´
on al C´
alculo 11-1

´
SEMANA 1: NUMEROS
REALES

1.

N´
umeros Reales

1.1.

Introducci´
on

El conjunto de los n´
umeros reales, denotado por R, es un conjuntocuyos elementos
se llaman n´
umeros reales, en el cual se definen dos operaciones llamadas suma o
adici´
on y multiplicaci´
on o producto.
En R existen numerosas propiedades que han sido usadas durante los a˜
nos de ense˜
nanza b´
asica y media. Estas propiedades pueden agruparse en tres familias: el
primer grupo corresponde a aquellas asociadas a la igualdad y las ecuaciones; el
segundo grupocorresponde a las propiedades en torno a la desigualdad y las inecuaciones; finalmente, existe un conjunto de propiedades avanzadas que marca la
diferencia entre los n´
umeros reales y los racionales (las fracciones), estas propiedades se preocupan de la estructura interna de los n´
umeros reales.
Estas u
´ ltimas propiedades est´
an ligadas al llamado axioma del supremo, el cual
hace a R u
´ nico.
Unaposibilidad de estudiar las propiedades de R ser´ıa dar un largo listado de “todas ellas” de modo que cuando se nos pregunte si una propiedad dada es cierta o
no, bastar´ıa con decir: “s´ı, corresponde a la propiedad 1743” (por ejemplo). Esto
transformar´ıa al curso de matem´aticas en uno donde s´
olo habr´ıa que memorizar
infinitas propiedades.
En este curso, escogeremos una visi´
on opuesta a laanterior. Es decir, todas las
propiedades deben ser una consecuencia de ciertos postulados b´
asicos elementales.
Estos postulados b´
asicos elementales se llaman axiomas y ser´
an los pilares fundamentales de nuestra teor´ıa. Las propiedades de R ser´
an s´
olo aquellas que pueden ser
deducidas, mediante una razonamiento l´
ogico-matem´
atico, a partir de los AXIOMAS.
Agruparemos los axiomas entres grupos: Los axiomas de cuerpo (asociados a la
igualdad), los axiomas de orden (asociados a la desigualdad) y el axioma del supremo (que marca la diferencia entre los reales y los racionales).
Juntando todos los axiomas que satisface R, suele decirse, en pocas palabras que R
es un Cuerpo Ordenado Completo y Arquimediano.

1.2.

Axiomas de Cuerpo de los Reales

Los axiomas de R sobre la igualdadtambi´en son llamados axiomas de cuerpo de
los reales. Los agruparemos en un total de 5, de los cuales los dos primeros son los
siguientes:
Axioma 1. (Conmutatividad)

1

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a) Cualesquiera que sean los reales x, y dados, su suma es un real y es independiente del orden en que se usen los dos sumandos,es decir:
(∀x, y ∈ R)

x + y = y + x.

b) Cualesquiera que sean los reales x, y dados, su producto es un real y es
independiente del orden en que se haga el producto, es decir:
(∀x, y ∈ R)

x · y = y · x.

Axioma 2. (Asociatividad)
a) (∀x, y, z ∈ R) x + (y + z) = (x + y) + z
b) (∀x, y, z ∈ R) x · (y · z) = (x · y) · z
Observemos que el axioma de la asociatividad NO DICE que x+(y+z) = (x+z)+y.
Sinembargo esta u
´ ltima igualdad es cierta, gracias a la combinaci´
on apropiada de
los dos axiomas anteriores.
En efecto:
x + (y + z) =

x + (z + y)

Por el axioma 1

=

(x + z) + y

Por el axioma 2.

Por lo tanto, combinando los dos axiomas anteriores, se concluye que los operandos
de una triple suma, se pueden reordenar de cualquier forma, sin alterar el resultado.
Es por esta raz´
on, que engeneral, cuando hay varios sumandos, no se usan los
par´entesis, a no ser que sea estrictamente necesario.
Ejercicios 1.1: Demostrar las siguientes igualdades, usando solo los axiomas 1 y
2.
1. (a + b) + c = (a + c) + b = (b + a) + c = (b + c) + a = (c + a) + b = (c + b) + a.
Aqu´ı se han escrito todos los ordenamientos posibles de los reales a, b y c.
2. (x + y) + (z + w) = (x + w) + (z + y) =...