Apunte Covarianza

Esperanza de una funci´n de dos VA’s, Covarianza y Coeficiente de Correlacion o
Probabilidad y Estad´ ıstica para Ingenier´ Escuela de Ingenier´ Industrial, UV. ıa, ıa Profesor: M. A. Valle Consideremos una funci´n de las VA’s X e Y . Vamos a definir la esperanza y varianza. Como o caso especial, vamos a encontrar la covarianza de Xe Y y su coeficiente de correlaci´n a partir de las o MGM’s(funci´n generadora de momento) . o Sea g una funci´n real definida en 2 , de tal manera que g(X, Y ) es una VA. Entonces la esperanza o de g(X, Y ) utilizando la pdf conjunta de X e Y es:

Eg(X, Y ) =
xi ∈ ,yj ∈ ∞

g(xi , yj )fX,Y (xi , yj )
∞

o

(1) (2)

Eg(X, Y ) =
−∞ −∞

g(xi , yj )fX,Y (xi , yj )dxdy

para el caso discreto y continuo respectivamente. Las mismas propiedades deloperador esperanza aplican para este caso, por ejemplo, siendo c y d constantes: E[cg(X, Y )] = cEg(X, Y ) Tambi´n, si h es otra funci´n real, entonces: e o g(X, Y ) ≤ h(X, Y ) y en particular, g(X) ≤ h(X) implica Eg(X) ≤ Eh(X) (5) implica Eg(X, Y ) ≤ Eh(X, Y ) (4) o E[cg(X, Y ) + d] = cEg(X, Y ) + d (3)

Para el caso especial de la funci´n g(x, y) = et1 x+t2 y , donde t1 , t2 son reales, la esperanzaEexp(t1 x+ o t2 y) define una funci´n en t1 , t2 para aquellos t1 , t2 para los cuales la esperanza es finita. Esto es: o MX,Y (t1 , t2 ) = Eet1 X+t2 Y , t1 , t 2 ∈ C ⊆
2

(6)

As´ para el caso discreto y continuo, tenemos respectivamente: ı, MX,Y (t1 , t2 ) =
xi ∈ ,yj ∈

et1 xi +t2 yj fX,Y (xi , yj )

(7)

y
∞ ∞

MX,Y (t1 , t2 ) =
−∞ −∞

et1 x+t2 y fX,Y (xi , yj )dxdy

(8)

1La funci´n MX,Y (∗, ∗) se llama MGF conjunta de las VA’s X e Y . Claramente vemos que MX,Y (0, 0) = o 1 para cualquier X e Y y puede suceder que C = (0, 0) o C ∈ 2 o C = 2 . Veamos un ejemplo: Sean las VA’s X e Y que tienen la pdf conjunta fX,Y (x, y) = λ1 λ2 e−λ1 x−λ2 y , x, y > 0, λ1 , λ2 > 0. Por ejemplo, X e Y pueden representar los tiempos de vida de dos componentes de un sistemaelectr´nico. Calcule la MGM conjunta de las VA’s involucradas. o A trav´s de (8) tenemos: e
∞ ∞ 0 ∞

MX,Y (t1 , t2 ) =
0

et1 x+t2 y λ1 λ2 e−λ1 x−λ2 y dxdy
∞ 0

(9) (10) (11)

=
0

λ1 e−(λ1 −t1 ) dx

λ2 e−(λ2 −t2 ) dy

=

λ1 λ2 × λ1 − t1 λ2 − t2

t1 < λ 2 , t 2 < λ 2

En (6), sustituyendo sucesivamente t2 = 0 y t1 = 0, obtenemos: MX,Y (t1 , 0) = Eet1 X = MX (t1 ) MX,Y (0, t2 ) =Eete Y = MY (t2 ) (12)

As´ la MGM de cada VA’s son las MGM marginales porque fueron tomadas de la pdf conjunta de X ı, e Y . La MGM conjunta definida en (8) tiene propiedades an´logas a las estudiadas en clases para el a caso de una variable. Sea c1 , c2 , d1 , d2 constantes: Mc1 X+d1 ,c2 Y +d2 (t1 , t2 ) = ed1 t1 +d2 t2 MX,Y (c1 t1 , c2 t2 ) La demostraci´n se la dejo de ejercicio. o Siguiendocon las propiedades ya vistas de la MGM en clases, podemos escribir tambi´n: e ∂MX,Y (t1 , t2 ) |t1 =t2 =0 = E(X) ∂t1 y ∂ 2 MX,Y (t1 , t2 ) |t1 =t2 =0 = E(XY ) ∂t1 ∂t2 (15) ∂MX,Y (t1 , t2 ) |t1 =t2 =0 = E(Y ) ∂t2 (14) (13)

Aunque las ecuaciones (13) y (14) nos permiten obtener los momentos a trav´s de las MGF’s de las e VA’s X e Y , la propiedad m´s significativa de las MGF’s es que nos permite(bajo ciertas condiciones) a recobrar la distribuci´n de las VA’s. Esto se hace a trav´s de la f´rmula de inversi´n. o e o o Ahora, seleccionemos la funci´n g como g(x, y) = cx + dy, donde c y d son constantes. Entonces o para el caso continuo:

2

∞

∞

Eg(X, Y ) = E(cX + dY ) =
−∞ ∞ ∞ −∞

(cx + dy)fX,Y (x, y)dxdy
∞ ∞

=c
−∞ ∞ −∞

xfX,Y (x, y)dxdy + d
−∞ ∞

xfX,Y (x, y)dxdy
−∞∞ ∞

=c
−∞ ∞

x
−∞

fX,Y (x, y)dxdy dx + d
−∞ ∞

y
−∞

fX,Y (x, y)dxdy dy

=c
−∞

xfX (x)dx + d
−∞

yfY (y) = cEX + dEy

asumiendo que las esperanzas existen: E(cX + dY ) = cEX + dEY (16)

En el caso discreto, las integrales se reemplazan por sumatorias. Tomando en cuenta las propiedades usuales de las integrales y de las sumatorias, la propiedad (16) aplica para...