Correlacion Y Covarianza

Relación entre variables cuantitativas: Correlación

La forma de medir si existe asociación entre variables continuas es usando el coeficiente de correlación. Pero hay que tener siempre presente que este coeficiente sólo se aplica a variables continuas y sólo mide asociación lineal.

Diagrama de dispersión: La distribución conjunta de dos variables puede expresarse gráficamente mediante undiagrama de dispersión: en un plano se representa cada elemento observado haciendo que sus coordenadas sobre los ejes cartesianos sean los valores que toman las dos variables para esa observación. Por ejemplo, veamos los datos correspondientes a un conjunto de diez pares de observaciones de estaturas de padres e hijos

PADRE HIJO

1,70 1,74

1,77 1,68 1,75 1,78 1,72 1,77

1,80 1,75 1,69 1,721,71 1,73 1,78 1,77 1,71 1,76 1,73 1,74

El diagrama de dispersión de ese grupo de datos sería el siguiente:

Es costumbre representar la variable dependiente en el eje vertical (ordenadas) y la independiente en el eje horizontal (abscisas). Cuando se estudia la relación entre dos variables, una puede considerarse causa y la otra resultado o efecto de la primera, siendo ésta una decisiónteórica. Llamaremos variable exógena, o variable independiente a la que causa el efecto y variable endógena, o variable dependiente a la que lo recibe.

Por supuesto que diferentes conjuntos de datos nos darán diagramas diferentes. Pero podemos considerar varios tipos de diagramas de dispersión, que son los más típicos.

A

B

D

C

El caso (A) corresponde a la relación tal que al aumentarlos valores de la variable independiente aumenta -en promedio- el valor de la variable dependiente. Cuando esto ocurre se dice que hay una relación lineal positiva.

El caso (B) representa otra relación de nuevo lineal, pero ahora negativa El caso (C) representa una situación en la que no hay relación entre ambas variables. Decimos entonces que las variables son independientes. El caso (D)muestra una relación entre ambas, pero no lineal.

La covarianza: La covarianza es una medida de la asociación lineal entre dos variables que resume la información existente en un gráfico de dispersión. Véase que el plano de una representación gráfica posible puede dividirse en cuatro cuadrantes definidos por los dos ejes.

2

1

3

4

Se denomina primer cuadrante a la zona del gráficodonde ambas variables toman valores positivos. El segundo cuadrante corresponde a valores negativos de la primera variable y positivos de la segunda. El tercer cuadrante incluye los valores negativos de ambas variables y el cuarto es donde la primera variable toma valores positivos y la segunda valores negativos. Para construir una medida de la asociación lineal a partir de estas propiedades, nosólo debemos atender la proporción de puntos en cada cuadrante, sino también la distancia en que esos puntos se alejan o no de su origen. Si tenemos pares de observaciones

(xi , yi ),..., ( xN , yN ) ,

llamaremos

covarianza entre x e y a la expresión

cov( x, y ) =

∑ (x − x )(y
N i =1 i

i

−y

)

N

La covarianza será positiva cuando los puntos se encuentran en loscuadrantes impares Esto significa que ambas variables varían ene el mismo sentido. La covarianza será negativa cuando los puntos estén en los cuadrantes pares. Esto significa que las variables varían en sentido contrario. Finalmente, la covarianza será próxima a cero cuando no exista relación entre ambas variables o cuando, existiendo, la relación sea marcadamente no lineal.

El coeficiente decorrelación: La covarianza depende de las unidades de medida de las variables y se modificará si modificamos las unidades de medida de las variables. Esto hace que no sea útil comparar la covarianza de grupos diferentes de observaciones con unidades (o con escalas) de medición diferentes . Por ejemplo, una covarianza de 1 medida en metros, se transforma en una covarianza de 100 medida en centímetros....