Apunte N 6 Sumatorias Y Progresiones

Sumatorias
Una sumatoria es un símbolo que se ocupa para denotar en forma comprimida la suma sucesiva de los
términos de una sucesión.
Definición: Se define el símbolo Σ (que se lee sumatoria) inductivamente, por
1.

=

2.

=

+

ó

De esta definición se desprende fácilmente que,
=

+

+

+ ⋯+
é

ó

i = 1 hasta el último término que en este caso es an para i = n. Es decir, en i = 1 se inicia lasuma de los
sucesivos términos de ai e i = n indica donde se finaliza la suma.
Nota. Solo estudiaremos las sumatorias finitas simples, que deberían llamarse series finitas. En un curso
posterior se estudian las sumatorias infinitas de los términos de una sucesión, a éstas se suelen llamar
series.
Número de Términos.
∑ "
con 0 ≤ p ≤ n, p ∈ N ∪ {0} el número de términos siempre es 7
para el casoparticular de p = 1, dicho número es n.
Propiedades.

1.

=

8

8

=

a n−p+1

9

9

El valor de la sumatoria no depende del símbolo que se use como índice.
2.
3.
4.

= : − + 1<,

"

∙
:

= ∙
+@ <=

0≤

,
+

@

≤ ,

.

5. Propiedad Telescópica.
<

"

@<

"

:

:

−

−

<=

<=

BA

"

−

−

6. Propiedad “del Reloj”
<

=

"

@<

"BA
A

=

"

7. E

" A

A
BA

,

"

,

,

−

,

0≤

≤ ,

"

0≤

≤

0≤
≥0,

0≤

≤

=

≤

−

≤

"B

Observación.
Todas estas propiedades se prueban en forma sencilla, en base a la definición o bien por inducción.
Sumatorias Notables:
1.
2.
3.
4.

F=

9

1
∙ : + 1<
2

F =

9

1
∙ : + 1<:2 + 1<
6

F =H

9
9 "

9B

1
∙ : + 1 2

=

"B

∙

−1
,
−1

B"

≠ 1,

0≤

≤

Observación.
Todas estas sumas se prueban de manera no difícil, por inducción
Ejemplo 1.
Desarrollar lassiguientes sumatorias:
<

K
9 L

F:2F − 1< =

@<

B
9 M

:−1<9

29 + 1
=
F+2

K

De las propiedades, se tiene que:
<

F:2F − 1< = 4 ∙ 7 + 5 ∙ 9 + 6 ∙ 11 + 7 ∙ 13 + 8 ∙ 15

9 L

Notar que son 5 = 8 − 4 + 1 términos como debería ser.
@<

B
9 M

:−1<9

29 + 1
2 B +1
2M + 1 2 + 1 2 + 1
=−
+
−
+ ⋯ + :−1<
F+2
2
3
4
+1

Note que en este caso se tiene n − 1 − 0 + 1 = n términos.
Ejemplo 2.
Escribir usando

Σ,las siguientes sumas:

1) 12 + 32 + 52 + . . . (hasta n + 1 términos)
2) 2 · 7 + 5 · 9 + 8 · 11 + . . . + 422 · 287
8
12
16
3<
−
+
− ⋯ :ℎ
é
3∙5 5∙7 7∙9
De inmediato se tiene:

1<
2<

9 M

:2F + 1< ,

9

<

−0+1=

"

3<
E

9

= 3, … ,

.

= :3F − 1<:2F + 5<, F = 1,2, …

3F − 1 = 422 S 2F + 5 = 287

Ejemplo 3.

+1 é

:−1<9B

= 6 − 3,

@

L

F = 141,

:3F − 1<:2F + 5<.

9

4:F + 1<
:2F + 1<:2F + 3
:

V

∙

9B

9

9

Note que la sumatoria consta de cuatro términos, así,
V
9

9B

∙

9

=

∙

L

+

∙

W

+

L

∙

V

+

W

∙

X

= 9 ∙ 21 + 15 ∙ 27 + 21 ∙ 33 + 27 ∙ 39 = 2340

@

Ejemplo 4.
Vamos a calcular las siguientes sumatorias, aprovechando para ello la propiedad telescópica.
M

1<

1
1
−
+2
+1

2<

"

1
1
−
H
I
2 −1 2 +1

Por lo tanto, se tiene para:
M

1<

1
1
1
1
1 1
5
−
=
−
=
− =−+2
+ 1 20 + 2 1 + 1 22 2
11

2) Note que en este caso los términos son consecutivos aunque aparentemente parecen no serlo, lo
importante es que:
=

í,

"

1
2 −1

S

=

1
1
1
1
−
−
I=
H
2 −1 2 +1
2 −1 2 +3

1
2 +1

Ejemplo 5.
Calcular las siguientes sumatorias.
<

9

F

@<

F

9

<

B
9

F

De la definición nos queda:
<
@<
<

9
9

F=
F=
B

9

1
:2 < ∙ :2 + 1< =
2
9

F=
=

F − :1 + 2< =
B

9

F−9

F=

∙ :2 − 1< −

∙ :2 + 1<

1
∙ : + 1< − 3
2
1
1
:2 − 1< ∙ :2 − 1 + 1< −
∙ : + 1<
2
2
∙ : + 1< =

∙ Y2 − 1 − : + 1
∙ : − 1<

Ejemplo 6
Calcular:

<

Solución:
<

@<

8

9

:[ + 1< =

8

:[ + 1< =

8

[ =

8

[ −1 =

F ∙ : − F + 1< = : + 1< ∙
=

V

@<

F−

9

F ∙ : − F + 1< =

9

1
∙ : + 1< ∙ : + 2< − 1
4
9

F = : + 1< ∙

∙ : + 1< ∙ : + 2<

1
1
∙ : + 1< −
∙ : + 1<:2 + 1<
2
6

Ejemplo 7Calcule la sumatoria y luego verifique su cálculo por inducción.
:1 + 2 B < =
Solución:
:1 + 2 B < =

1+

2

2 B = : + 1< + 1 ∙

−1
=
2−1

+2

Ahora lo verificamos mediante inducción, es decir:

<

<

]

"

:1 + 2 B < =

=0

`1 + 2

:1 + 2 B < = 0 + 2

= ,

B

a=

"

=

+ 1,

,

"

:1 + 2 B < =
,

"

`1 + 2 B a + :1 + 2"

Que es lo que queríamos demostrar.

⇔

=

+2

1 + 2M = 2,
+ 2"

:^. _<

:1...

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