Apuntes de Calculo integral

1

Inicialmente la teoría del cálculo diferencial y la del cálculo integral se
desarrollaron por separado, la primera tratando de resolver el calculo de
velocidades y aceleraciones instantáneas y la segunda tratando de resolver el
calculo de áreas bajo curvas especiales.
Posteriormente se descubrió que el cálculo integral matemáticamente es el
procedimiento inverso al cálculo diferencial. Esdecir, ahora se nos plantean
diferenciales y al integrarlas determinamos a la función inicial de la cual se
obtuvo dicha diferencial, para lograr este objetivo existe una serie de fórmulas
básicas las cuales estudiaremos en este tema.
NOTA: Así como hay formulas para derivar, también las hay para integrar.
Ejemplo 1.

y = x2 + 2

En Cálculo Diferencial

y’ = 2x

D x(y) 


dy
 2x
dx
dy = 2x * dxDiferencial de la función

Diferencial de la variable independiente

En Cálculo Integral

 dy   2x
y

dx

1 1

Integral de un Diferencial
2

2x
2x
C 
C
11
2

y = x2 + C

Constante de Integración

Integral Indefinida
o
Anti derivada

¿Porque al resolver una Integral se le suma la constante de integración?
Para garantizar la posible existencia de una constante en la función primitiva, yaque estas se pierden al derivar.

Elaboro: Ing. Arq. Vicente E. Navarro Barrios

2

Ejemplo 2.

y = 2x2 + 3x + 5

En Cálculo Diferencial

y’ = 4x + 3
dy
 4x  3
dx

D x(y) 



dy = (4x + 3) * dx

En Cálculo Integral

 dy   (4x  3) dx
 dy   4x dx   3 dx
 dy   4x dx  3  dx
y

4x1  1
 3x  C
1 1

y = 2x2 + 3x+ C
Ejemplo 3.

y = x 3 - x2 - 1

En cálculo diferencial

y’ = 3x2 -2x

Dx(y) 


dy
 3x2 - 2x
dx
dy = (3x2 – 2x) * dx

En cálculo integral

 dy   (3x
 dy  3  x
y

2

2

 2x) dx

dx  2  x dx

3x2  1 2x1  1

C
2 1
1 1

y = x3 - x2 + C

Elaboro: Ing. Arq. Vicente E. Navarro Barrios

3

 dx  x  C

 a dv  a dv  av  C
 3 dx  3  dx  3x  C
2)  - dt  -  dt  t  C

 dθ  θ  C
2)  dt  t  C
3)  dv  v  C

1)

1)

3)

2

2

2

 3 dy 3  dy  3 y  C


a xn dx  a

x n1
C
n 1

1)

1
5

1

1 5


1

6

6

2x 5
2x 5 5
2x 5
10x 5
5 5 x6
5x 5 x
2) 2x dx 
C 
C 
C 
C 
C 
C
1
1 5
6
6
3
3
1

5
5 5
5

Nota: Para Integrar raíces de cualquier tipo, se tendrán que convertir a
exponentes fraccionarios.
3)

4)

3

3
2

3 2

2 2

3
2

5
2

x
x
1
1 x
x
x5
dx  
dx   x dx  *
C 
C 
C
5
2
2
2
2
5
5
2
2
- 3 x5dx  

2
- 3x

5
2

dx  

2
x
3



5
2

dx  

5 2
 
2 2

3

2 x
4 
4
4
*
C  *x 2 C 
C 
C
3
3
3
3
9
9
x

9x 2
2

Elaboro: Ing. Arq. Vicente E. Navarro Barrios

4

 f x   gx   hx  dx   f x  dx   gx  dx   hx  dx




1) x 2  3x  2 dx 







x 2 dx  3 x dx  2 dx 

x 3 3x 2

 2x  C
3
2

 4
x2 x 
1
1
3
2)  3x  2x 
  dx  3  x 4 dx  2 x 3 dx   x 2 dx   x dx  C
2 3
2
3

x5
x4 1 3 1 2
3
1
1
1
3
2
 x  x  C  x5  x4  x3  x2  C
5
4 6
6
5
2
6
6
 1
2 x
3) 
 3   dx  x
3
 x x







1
2



dx  2 x

1
dx 
x dx 
3



3

1
2
x
1
2

x 2 1 x 2
2

C
2 3 2
1

2 x 
 2
1
4)  2 
 3x
3 2
2 x





 dx 



2

 3x

2

dx 

 2 1

2

2x
1


3 1
2

1
3

x2

1
3
x
1
3

x

2



1 2
x C
62


2
1
dx 
x 2 dx 
x 3 dx
3
2





1

2 1 1
2 3
 C  *  * 3x 3  C  

3 x 2
3x 2

3

x C

1

x
1
x
1
 1
5)  2  x   dx   2 dx   x dx   dx   x - 2 dx   x 2 dx   x dx
2
2
2
x
x
1 2


3

x- 2 1 x 2 2
1 x2
x -1 2 2 x 2
1 2
x2



C
 x 
C 
x3 
C
3
- 2 1
2 2
-1 3
4
x 3
4
2
4
 1
3 
1
3
1 3
3

6) 

dx

dx

dx

x
dx   x 3 dx
3 
3



4
4
33
2
2
2x
2x
2 x
2 x


1

2

4 3
 



1

x 3 3
3 x 31
1 x 3 3 x 2
3
3

C 

C   3

C
4 3 2  3 1
1 2 2
2
4 x2
2 x
 

3 3
3

Elaboro: Ing. Arq. Vicente E. Navarro Barrios

5



v n dv 

v n1
C
n 1

para n  1

Para integrar un diferencial de la forma vn * dv, se debe analizar si el dv esta completo,
si lo esta se integra directamente. Si no lo está, se debe completar y...