Apuntes De Ecuciones Difernciales

Contents
1. PREAMBULO 2. LENGUAJE DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES (mínimo y necesario) 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 4 5 15

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CONTENTS

1. PREAMBULO Apreciado(a) Alumno(a): Estos son unas notas de clase del tema: ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden para el curso de Cálculo 2 de la Facultad de Finanzas de la Universidad Externado deColombia. Existen excelentes libros de Ecuaciones Diferenciales, mencionaré algunos por sus autores: Takeuchi, Coddington, Makarenko, Ayres, Simmons, Kreyder, Boyce, Zill, Nagle, Devaney, Borrelli, Edwards, Polking (esta lista sirve como bibliografía). Y los que no conozco estoy completamente seguro que la lista de autores llena muchísimas páginas. El contenido de estas notas es el siguiente: Lenguaje delas Ecuaciones Diferenciales (mínimo y necesario) Ecuaciones Diferenciales de primer orden: – variables separables – homogéneas – exactas – factor integrante – lineales – de Bernoulli – análisis cualitativo de las ecuaciones autónomas – campo de pendientes Algunas aplicaciones de las E.D.O. de primer orden Deseo expresar mi agradecimiento: Al Doctor Luis Jorge Ferro Casas por su estímulo en laelaboración de estas notas. Al Doctor Omar Silva por su constante apoyo. A mi hijo por sus valiosas sugerencias y la digitación de este trabajo. Pido disculpas por los errores que aparezcan en esta presentación, soy el único responsable de ellos. Con respeto: Luis Alfonso Mejía Muñoz. (Lucho)

2. LENGUAJE DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES (M íNIM O Y NECESARIO)

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2. LENGUAJE DE LAS ECUACIONESDIFERENCIALES (mínimo y necesario) Recordemos que cuando escribimos expresiones de la forma: y(x): x es la variable independiente y y es la varible dependiente. x(t): t es la variable independiente y x es la variable dependiente, o en: U (x; y): x e y son las variables independientes y U es la variable dependiente. Z(t; p): t y p son las variables independientes y Z es la varible dependiente. Enlas dos primeras expresiones tenemos funciones de una sola variable y en las dos últimas, funciones de dos variables. Recordemos también que para una función por ejemplo x(t) si existe: x(t + h) x(t) ; dicho límite es llamado la 1a derivada de x(t) y lo notaLim h!0 h dx(t) y podemos pensar en hallar las derivadas de orden superior: mos : x0 (t) ó dt 00 000 (n) x (t); x (t); :::; x (t): n-ésimaderivada de x(t). Todas estas derivadas desde x0 (t) son denominadas ordinarias pues la función x(t) es de una sola variable. Para una U (x + h; y) U (x; y) función U (x; y), al límite Lim si existe, lo llamamos derivada h!0 h @U (x; y) parcial de U (x; y) con respecto a x y es notado: Ux (x; y) ó ó D1 U (x; y), @x @U (x; y) de forma similar se de…ne Uy (x; y) ó ó D2 U (x; y) , y a partir de estas @ydos derivadas parciales Ux (x; y) y Uy (x; y), y se puede pensar en hallar Uxx (x; y), Uxy (x; y), Uyx (x; y), Uyy (x; y), ó, Uxxx (x; y), Uxxy (x; y),... todas estas derivadas son llamadas parciales pues U (x; y) es una función de dos variables. Teniendo en cuenta los anteriores "recordemos que...." , ya podemos dar la primera de…nición. Definition 1. Una ecuación que contiene derivadas de una(varias) función(es) desconocida(s) con respecto a una (una ó varias) variable(s) independiente(s) es llamada Ecuación Diferencial [E.D.] Ejemplos: (1) x0 (t)
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x(t) = 0, ó,

d y(x) dy(x) + 2y(x) = 0, ó, 3y 00 + y 0 dx2 0 dx (3) g 0 (t) + 2f (t) = 0 @ 2 K(x; y) @L(x; y) @H(x; y) (4) 2 + + =0 @y@x @x @y (2) 3

dx(t) dt

x(t) = 0, ó, x0

x=0 2y = 0

Definition 2. Si la E.D. contienesolamente derivadas ordinarias, dicha ecuación es llamada una E.D.Ordinaria [E.D.O.] Definition 3. Si la E.D. solo contiene derivadas parciales, llamaremos a esta ecuación una E.D.Parcial [E.D.P] Ejemplos: dy(x) dy (1) = y(x) , ó , = y ó y0 dx dx

y=0

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d2 y(x) = ex + 1 ,ó , y 00 = ex + 1 dx2 d3 y d2 y dy (3) +3 2 +2 = 1 , ó , y 000 + 3y 00 + 2y 0 = 1 3 dx dx dx dx (4) t +...