Apuntes Funciones Parte 2

FUNCIONES y APLICACIONES
Parte 2

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Funciones lineales
Son funciones descritas por la fórmula f(x) = mx + b, con m y b
números reales.
Estas funciones tienen dominio IR y, cuando m es distinto de
cero, el recorrido también es IR; su representación gráfica es una
recta.

m=0

m>0

m<0

El número real m se llama pendiente de la línea recta y
corresponde a la razón de la elevación al recorrido.
2m=

elevación y2 − y1
=
recorrido x 2 − x1

donde P = (x1, y1) y Q = (x 2 , y2 ) son puntos de la recta

y = mx + b

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Observe que la pendiente de una línea es la misma, no importando las
posiciones de los puntos P y Q sobre la línea.
* La pendiente no está definida para líneas verticales.
−b
x
=
* Si m es distinto de 0, y = mx+b corta el eje X sólo en el punto o m
4

Las diversas formasasumidas por la ecuación de una línea recta:
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Ecuación general
Ec. punto-pendiente
Ec. pendiente ordenada al origen
Ec. Línea horizontal
Ec. Línea vertical
Ec. Línea por el origen

Ax+By+C, A y B no ceros a la vez
Y − y1 = m (X − x 1)

y = mx + b
y=b
x=c
y = mx

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Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales
Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus
pendienteses -1

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Problema: (modelo de costos)
El costo de fabricar 10 maletines de cuero al día
es de $350 mil, mientras que cuesta $600 mil
producir 20 maletines del mismo tipo al día.
Suponiendo un modelo de costo lineal, determine la
relación entre el costo total de producir x maletines
de cuero al día y dibuje su gráfica.

Problema:
El alcalde de una comuna tiene un presupuesto de $200 millones
paragastos de transporte e intenta utilizarlos para construir líneas
de tren subterráneo o carreteras. Si cuesta $2,5 millones construir
1 km de carretera y $4 millones construir 1 km de línea de tren
subterráneo, encuentre la relación entre el número de kilómetros
de autopistas y de líneas de tren subterráneo que pueden
construirse usando la totalidad de presupuesto. Interprete la
pendiente de larelación lineal que se obtiene.
7

Función valor absoluto
f

IR  → IR ; f ( x ) = x
Observe que el recorrido de la función es IR0+
y que f es una función par.

Ejercicio: Verifique si las siguientes funciones son
iguales. Grafique ambas funciones en la calculadora

f (x ) = x − 1 + 4

x + 3

g (x) = 
5 − x


si

x ≥1

si

x <1

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Función raíz cuadrada
f
IR o+  → IR ; f ( x ) =

xObserve que el dominio y el
recorrido de esta función es IR0+

Ejercicio:
Indique el dominio de las siguientes funciones:
y =

x +3

y = − x

y = 3 x
y =

x+3

Además grafique en la calculadora estas funciones.

9

Función cuadrática
f

IR  → IR ; f ( x ) = ax 2 + bx + c

, con a, b, c ∈IR, a≠0

La representación gráfica de f es una parábola que abre hacia
arriba cuando a>0, abre hacia abajo cuandoa<0 y cuyo vértice V
tiene coordenadas:
−b
− (b 2 − 4 ac )
x=

2a

,

y = f (x ) =

4a

vértice

vértice

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Ejercicio:
Grafique en la calculadora e indique el recorrido de
las siguientes funciones:

y = x2

y = 3x 2

y = −x2

y

y = x2 + 3

= 31 x 2

Ejercicio:
Determine dónde resulta creciente y dónde resulta decreciente la
función f. Compruebe su respuesta a través del gráfico que le
entregala calculadora
f ( x ) = ( x − 1) 2 + 2

f(x) = - 2x 2 + 2

f ( x ) = 2 x 2 − 12 x + 17

f(x) = 3x - x 2

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Ejercicio:
La ganancia diaria G de una empresa está modelada
por la función G( x ) = − 2 x 2 + 120 x − 800 , donde x es
el número de artículos producidos diariamente y G(x)
está dado en pesos. Determine el número x tal que
la ganancia diaria resulte máxima.

Problema:
Un fabricante puedeproducir radios a un costo de US$2 por unidad.
Las radios se venden a US$5 cada una y a este precio, los
consumidores compran 4000 radios al mes. El fabricante planea
aumentar el precio de las radios y estima que por cada incremento
de US$1 en el precio, se venderán 400 radios menos cada mes.
Exprese la utilidad mensual del fabricante como función del
precio de venta de las radios. Grafique esta...