Apunte Resumen Parte 2

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Derivadas Parciales (parte 2)
Ejercicio:
Si

donde

y

. Determinar

Solución:

Consideraremos ahora la situación en la que
, pero cada una de las
variables e es función de dos variables y . En este caso tiene sentido el problema
de determinar
TEOREMA (Regla de la Cadena ) Sean
funciones que
admiten primeras derivadas parciales en
y sea
diferenciable en
. Entonces
tiene primeras derivadasparciales dadas
por :
i)
ii)

EJEMPLO

Si

, en donde
y

Usando la Regla de la Cadena , se tiene :

determinar

41
z
s

s

s

Análogamente :

Para recordar la Regla de la cadena se puede usar el diagrama del

OBSERVACION
árbol
Ejercicio
Demuestre que
si

(

z 2
r)

+

1
(
r2

z

con

e

Solución

Entonces

¡ Justifique !

La Regla de la Cadena puede aplicarse a funciones compuestas de cualquiernúmero de
variables y es posible construir diagramas de árbol como ayuda para formular la derivada
parcial solicitada. El siguiente Teorema garantiza la validez de la generalización.
TEOREMA (Regla

de

la

Cadena Caso General) Supóngase que
es una función diferenciable y que cada una
de las variables
, ... ,
es una función de variables ,
......,
de tal manera que todas las derivadas parciales
existen(
de
cada

,

,.....

, ,....

y
y

. Entonces

es función
para

42
EJEMPLO

Escribir la regla de la cadena para el caso en que

y

Usaremos el diagrama de árbol, que en lo sucesivo no contendrá en las ramas la
correspondiente derivada parcial. En este caso

Entonces

EJEMPLO

Escribir la regla de la cadena para el caso en que
)

y

En este caso el diagrama de árbol está dado por

La regla de lacadena adquiere importancia cuando se necesita calcular la derivada
parcial de una función diferenciable definida en términos generales solamente a través de
un argumento. Por ejemplo :
Sea

probar que

43

Aquí el diagrama de árbol corresponde a :

Lo importante de distinguir aquí es que
puede ser cualquier función
diferenciable :
etc
Se probará que
independiente de la selección de , se mantieneel resultado
En efecto :
2

Por lo tanto :
El ejemplo anterior muestra que la regla de la cadena es una valiosa herramienta
matemática que permite plantear enunciados generales acerca de las derivadas parciales
de un número infinito de funciones formadas de la misma manera . Esta situación tiene
aplicaciones en el campo de las soluciones de ecuaciones que contienen derivadas
parciales.
EJEMPLO4.8

Si

demostrar que

Antes que cualquier cosa el alumno debe distinguir que es una función de tres variables
y que
puede ser cualquier función diferenciable que no se necesita conocer
explícitamente. Al introducir las variables de se conforma un esquema de sustitución,
esto es :
, donde
,
,
Por consiguiente el diagrama de árbol que queda

44

Entonces :

Análogamente :

(

1)

Finalmente :EJEMPLO

La ecuación diferencial parcial
constante

es una clásica ecuación para matemáticos, físicos e ingenieros y aparece en los estudios
de la luz o el sonido. En este caso es una función diferenciable de y . Demostrar que
cualquier función diferenciable de la forma
satisface la ecuación de la
onda.
Usando la estrategia del ejemplo anterior hacemos
diagrama de árbol queda

de modo que el

45Entonces :

En general la determinación de las segundas derivadas parciales para funciones
compuestas no es una cosa directa, pero en este caso particular se ve facilitado
Recordemos que
pero

, tomándose

como una función de

y .

Entonces :

En este caso el diagrama de árbol queda :

Entonces

Notar que en este caso el resultado obtenido puede alcanzarse más directamente
reemplazando
por
en laexpresión
obtenida anteriormente. En
efecto

Luego :

Para calcular
expresión

recurrimos a esta última técnica, esto es, reemplazar
Entonces

por

en la

46

Comparando las segundas derivadas parciales, se tiene que
2

Se propone al alumno verificar que
de la onda , de modo que

también es solución de la ecuación
sigue siendo solución

DERIVACION IMPLICITA
Aunque en la II Unidad de Cálculo I se...