Apuntes Para El Fin De Semana_5tasemana

3.2 Función Lineal (Recta)
Dos puntos cualesquiera en el plano xy determinan una línea recta única. Esta recta es la distancia más corta entre dos puntos.
Fórmula de la distancia. Supongamos que P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son dos puntos distintos en el plano xy, que no están en una recta vertical ni en una recta horizontal. En consecuencia, P1, P2 y P3(x1, y2) son vértices de un triángulorectángulo como se observa en la figura 1.

Figura 1. Distancia entre los
puntos P1 y P2
La longitud del lado P3P2 es , mientras que la longitud del lado P1P3 es. Si representamos con d la longitud P1P2, entonces:
(1)
de acuerdo con el Teorema de Pitágoras. Como el cuadrado de todo número real es igual al cuadrado de su valor absoluto, se pueden reemplazar los signosde valor absoluto en la ecuación (1) por paréntesis. Entonces, la fórmula de la distancia la derivamos directamente de (1), obteniéndose:
(2)
O bien, observe la siguiente figura:









Aunque la fórmula fue deducida para dos puntos que no estén en una recta horizontal o vertical, también es válida en estos casos. Además, como = , no importa qué punto se use primero en la fórmula de ladistancia; es decir, d(P1, P2) =d(P2, P1).
Ejemplo. Calcular la distancia entre los puntos A(8,-5) y B(3,7)
Solución: De acuerdo con (2), si A y B son P1yP2), respectivamente



La distancia d se ilustra en la siguiente figura:


Formula del punto medio. El punto medio en la recta numérica de un segmento de recta entre dos números a y b es su promedio. En el plano xy, cada coordenada delpunto medio M de un segmento de recta que une dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2), como se muestra en la figura 2 es el promedio de las coordenadas correspondientes a los extremos de los intervalos y .

Figura 2. M es el punto medio del
segmentode recta que une P1 y P2
Para demostrarlo, en la misma figura se observa que los triángulos P1CM y MDP2 son congruentes, porque los ángulos correspondientesson iguales y d(P1, M) = d(M, P2). Por consiguiente, d(P1, C) = d(M, D), o . Al despejar de la última ecuación se obtiene . Asimismo, d(C, M) = d(D, P2), y entonces x-x1 = x2-x; por consiguiente, . Resumiendo este resultado, se obtiene lo siguiente:
(3)
3.3.1 Ecuaciones de rectas
Anteriormente se revisó que dos puntos distintos cualesquiera en el plano xy determinan una línea recta única. Eneste apartado nuestro objetivo es hallar las ecuaciones de rectas. El concepto fundamental para plantear estas ecuaciones es la pendiente de una recta.
i) Pendiente.Si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son dos puntos tales que x1 ≠ x2, entonces el número
(1)
se denominapendiente de la recta determinada por estos dos puntos. Se acostumbra decir que , es el cambio en o el crecimiento de la recta;es el cambio en x o el recorrido de la recta. Por lo tanto, la pendiente (1) de una recta es (figura 1a)


Dos puntos cualesquiera de una recta determinan la misma pendiente. Para entender por qué sucede así, se consideran los dos triángulos rectángulos semejantes de la figura 1b. Puesto que sabemos que las razones de los lados correspondientes en triángulos semejantes son iguales, se tiene

Deahí que la pendiente de una recta sea independiente de la selección de puntos en la recta.

Figura 1. Pendiente de una recta

En la figura 2 se comparan las gráficas de rectas con pendientes positiva, negativa, cero e indefinida. En la figura 2, en a) se observa que una recta con pendiente positiva (m ˃ 0) se eleva conforme x aumenta; en b) se muestra que una recta con pendiente negativa (m ˂ 0)desciende a medida que x aumenta. Si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son puntos sobre una recta horizontal, entonces y1 = y2y por lo tanto su elevación es y2 – y1 = 0. En consecuencia, por (1) tenemos en c) que la pendiente es cero (m = 0). Si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son puntos sobre una recta vertical, entonces x1 = x2y por lo tanto su elevación es x2 – x1 = 0. Así, se dice que en d) la...