Apuntes

La derivada y el problema de la recta tangente
PROBLEMA MOTIVADOR: ¿Cómo definir la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado?
Conocimientos previosrelevantes:
* Pendiente de una recta m=y2-y1x2-x1
* Recta tangente y recta secante a una circunferencia
* Límite de una sucesión o secuencia de valores
Se trata entonces de generalizar elconcepto de recta tangente a una circunferencia a la gráfica de una función arbitraria, se parte de una recta secante a la función
Idea: Obtener una secuencia de rectas secantes a la curva cuyolímite sea la recta tangente.

Partiendo de la recta secante PQ, se obtiene una sucesión de rectas secantes al ir acercando el punto Q al punto P=(x0, f(x0)), es decir, dejando que ∆x tienda a 0. Larecta límite se define como la recta tangente a la curva en el punto P.
De manera similar, las pendientes de la sucesión de rectas secantes tienden a la pendiente de la recta tangente. Ensímbolos escribimos:
msec→mtan , cuando ∆x→0
ó
lim∆x→0msec=ΔyΔx=mtan

Es importante recalcar que la recta tangente:
* No es simplemente una recta que toca a la curva en un punto
* Sí esel límite de una sucesión de rectas secantes.
* A diferencia de la tangente a una circunferencia, puede llegar a tocar la gráfica en más de un punto (¿podrías dibujar un ejemplo donde estoocurre?)

DEFINICIÓN: Derivada en un punto
La derivada de una función f(x) en un punto x =x0 es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en x0, fx0.
Notación: f'(x0)Observaciones:
* La derivada en un punto es una pendiente, por lo tanto es un número.
* Esto nos provee una interpretación geométrica de la derivada.
* La recta tangente es la línea recta quemejor aproxima a la gráfica de la función en el punto de tangencia.

Pregunta para pensar: ¿Cómo encontrarías la derivada de una función en un punto dado utilizando sólo métodos gráficos o...