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SOLUCIONES MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS
En este tema se estudiará un método de resolución basado en la representación de soluciones
mediante series de potencias. Y en los dos siguientes, mediante series de Frobenius.

SOLUCIÓN MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS EN EL ENTORNO
DE UN PUNTO ORDINARIO
Se va a considerar el caso de la ecuación diferencial lineal homogénea de 2º orden :
P( x ) y ′′ +Q( x ) y ′ + R( x ) y = 0

[1]

y ′′ + p( x ) y ′ + q( x ) y = 0

[1´]

ó en forma canónica :

Definiciones.
Un punto x0
q( x ) =

se llama punto ordinario de [1] o [1´] si las funciones p( x ) =

Q( x )
P( x )

y

R( x )
son analíticas en x0 (es decir, si p(x) y q(x) tienen desarrollos en serie de Taylor
P( x )

en torno a x0 con radios respectivos de convergencia R1 y R2no nulos)
Si P(x), Q(x), R(x) son polinomios, entonces x0 es punto ordinario de [1] si y sólo si P(x0) ≠ 0
( siendo [1] no simplificable ).
Si x0 no es punto ordinario, se llama punto singular de la ecuación [1] ó [1´].
Según el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas, la simple continuidad
de p(x) y q(x) en un entorno I de un x0, es suficiente para garantizar laexistencia de dos
soluciones linealmente independientes de la ecuación [1´] en dicho entorno, así como para
garantizar la existencia y unicidad de solución del problema de valor inicial definido por [1´] y
las condiciones: y(x0) = y0 ,
y´(x0) = b0
con x0 ∈ I
Pero si además es x0 un punto ordinario de [1] ó [1´], las p(x) y q(x) no sólo son continuas en
I , sino analíticas. Y cabe preguntarseentonces si las soluciones de tal ecuación heredarán
dicha propiedad. Por tanto, si x0 es un punto ordinario de [1] , surgen las preguntas siguientes:

1

• ¿Existen soluciones analíticas de [1] en un entorno de x0 , es decir, soluciones de la
forma :
y = a 0 + a 1 ( x − x 0 ) + a 2 ( x − x 0 ) 2 + ... + a n ( x − x 0 ) n + ... [2]
En caso afirmativo :
• ¿Cómo se obtienen los coeficientes an?• ¿Dónde converge la serie [2] ?
Es importante poder responder a estas preguntas, pues sería absurdo intentar buscar soluciones
de la forma [2], si no existen. Si existen en I, pueden además derivarse término a término en I.
Las respuestas a estas preguntas las da el siguiente teorema, que será enunciado, pero no
demostrado.
Teorema:
Si x0 es un punto ordinario de [1] ( ó [1’] ) entonces lasolución general de [1] en un
cierto entorno de x0 puede escribirse en la forma [2] y a su vez :
∞

y = ∑ an ( x − x0 ) n = a0 y1 ( x) + a1 y 2 ( x)
n =0

Siendo a0 , a1 ctes arbitrarias e y1(x), y2(x) analíticas en un entorno I de x0, y
linealmente independientes en I.
El radio de convergencia de las series y1(x) e y2(x) es al menos tan grande como el mínimo
de los radios de convergenciade los desarrollos en serie de p(x) y q(x) en torno a x0 (es
decir, al menos igual a la distancia de x0 al punto singular más próximo de la ecuación
[1], sea dicho punto real o complejo)
Los coeficientes an de la serie [2] se obtienen en términos de a0 y a1 , sustituyendo la serie
genérica y =

∞

∑ an ( x − x0 )n

en [1], (así como los desarrollos de p(x) y q(x) si P(x), Q(x),

n=0R(x) no son polinomios) y procediendo por coeficientes indeterminados.

2

Observaciones:
a) La serie solución puede converger con radio mayor que el indicado en el teorema.
b) Si el punto ordinario es x0 ≠ 0, pueden simplificarse las notaciones trasladando x0 al origen,
mediante el cambio x - x0 = t.
c) Según el teorema de existencia y unicidad, cada solución está determinada de maneraúnica
por los valores y(x0) e y’(x0), es decir por a0 y a1 . Por eso, todos los coeficientes se obtienen
en términos de a0 y a1.
d) El método para resolver una ecuación completa : y ′′ + p( x ) y ′ + q( x ) y = h( x ) , siendo x0
punto ordinario y h(x) analítica en x0, es análogo. En este caso, también hay que desarrollar
h(x) en serie de potencias en torno a x0 , antes de proceder por...