AREA

Ejercicios de optimización
1. Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 30, ¿cuál es el de área máxima?
Función a maximizar:
yh
A=
2
Relacionar variables:
y
2

h2 +

2

= x2  h =
30−y
2

2x + y = 30  x =
2

30−y
2

h=

−

y2
4

30−y 2
4

=

−

x2 −

y2
4

0 < y < 30
y2
4

=

1
2

30 − y 2 − y 2

Estudiamos la función:
Ay =y 1 30 − y 2 − y 2
2
= 1 y 30 − y 2 − y 2 = 1 900y 2 − 60y 3
2
4
4
Ry = 900y 2 − 60y 3

R ′ y = 1800y − 180y 2 = 180y10 − y = 0 
Intervalos 0, 10
signo R

0

−

Max r

y = 10

10, 30

↗

función R

10

+

′

y=0

↘

Máximo relativo en y = 10
Solución: el triángulo de área máxima es el que tiene de base y = 10 cm. y de lado
30−y
x = 2 = 10 cm.2. Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz 10 cm. y de capacidad máxima.
¿Cuál debe ser el radio de la base?

Función a maximizar:
V=

1
3

πr 2 h

Relacionar variables:
h + r = 100  r 2 = 100 − h 2
2

Estudiamos la función:

2

0 < h < 10

Vh = 1 πr 2 h = 1 π100 − h 2 h = 1 π100h − h 3 
3
3
3
V ′ h = 1 π100 − 3h 2  = 0  h = +
3
100
3

0,Intervalos

100 (El valor negativo no es solución)
3
100
3

100
3

signo V ′

+

0

−

función V

↗

Max r

, 10

↘

Máximo relativo en h =
r 2 = 100 − h 2 = 100 −

100
3
100
3

=

200
3

r=

Solución: El radio de la base debe ser

200
3

200
3

≃ 8. 16 cm.

3. En un triángulo isósceles de base 12 cm. (el lado desigual) y altura 10 cm, seinscribe
un rectángulo de forma que uno de sus lados esté sobre la base del triángulo y dos de
sus vértices sobre los lados iguales:
a) Expresa el área, A, del rectángulo en función de la longitud de su base, x, y dí cual
es el dominio de la función.
b) Halla el valor máximo de esa función
a) Área en función de x:

A = xy

△

△

Como los triángulos ABC y DEC son semejantes:
AB = BCDE
EC
10 = 6  10 = 12
y
y
12−x
12 − x
2

1012 − x = 12y  y =

1012 − x
512 − x
=
= 60 − 5x
12
6
6

Luego:
2
2
Ax = x 60 − 5x = 60x − 5x  Ax = 60x − 5x
6
6
6
b) Máximo de la función Ax
A ′ x = 60−10x = 0  x = 6
6

Intervalos 0, 6

6

6, 12

signo A ′

+

0

−

función A

↗

Max r

↘

0 < x < 12

Máximo en x = 6
Valormáximo de Ax es A6 = 30 cm 2

4. Hallar el radio y la altura del ciclindro de volumen máximo inscrito en una esfera de
30 cm de diámetro.

Función a maximizar:
V = πr 2 h

.

Relacionar variables:
h 2 + 2r 2 = 900  r 2 =

0 < h < 30

900−h 2
4

Estudiamos la función:
Vh = π 900 − h h =
4
2

V ′ h = π 900 − 3h 2  = 0  h = ±10 3
4

π900h − h 3 
4
(El valornegativo no es solución)
10 3 6, 30

Intervalos

0, 10 3

signo A ′

+

0

−

función A

↗

Max r

↘

Máximo para h = 10 3
r 2 = 900−300 = 150  r = 150 = 5 6
4
Solución: El volumen es máximo para h = 10 3 cm y r = 5 6 cm

5. Una recta que pasa por el punto 1, 2 determina sobre los semiejes positivos, los
segmentos OP y OQ. Determinar:
△

a) El triángulo OPQ de áreamínima.
b) La recta para la cual OP + OQ es mínimo
△

a) El triángulo OPQ de área mínima.

.

Relacionar variables:
Recta que pasa por Px 0 , 0 y 1, 2 :

Función a minimizar:
A=

x 0 ⋅|OQ|
2

x0 > 1

Punto : A1, 2
Pendiente : m =

=

2−0
1−x 0



2
1−x 0

y−2 =
y=

2
1−x 0

2
1−x 0

x − 1

x−

2x 0
1−x 0

Intersección de la recta con eleje OY: x = 0
y = − 2x 0
1 − x0
Por tanto las coordenads del punto Q son:
Q = 0, − 2x 0
1 − x0
Estudiamos la función:
−x 2
0
Ax 0  = 1 x 0 − 2x 0
=
2
1 − x0
1 − x0
A ′ x 0  =

−2x 0 1 − x 0  + −x 2 
−2x 0 + x 2
0
0
=
=0
1 − x 0  2
1 − x 0  2
x 0 = 0 No es solución

 x 0 −2 + x 0  = 0 

x0 = 2

Intervalos 1, 2

2

2, +∞

signo A ′

−...