aritmetica

RAZONES Y PROPORCIONES
RAZONES.
RAZON O RELACION de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades. Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuanto excede una a la otra, es decir, restándolas, o hallando cuantas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: razón aritmética o pordiferencia y razón geométrica o por cociente.

RAZON ARITMETICA O POR DIFERENCIA de dos cantidades es la diferencia indicada de dichas cantidades.
Las razones aritméticas se pueden escribir de dos modos: separando las dos cantidades con el signo – o con un punto (.)
Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6-4 ó 6.4 y se lee seis es a cuatro.
Los términos de la razón se llaman: antecedenteel primero y consecuente el segundo. Así, en la razón 6-4, el antecedente es 6 y el consecuente 4.

RAZÓN GEOMÉTRICA O POR COCIENTE de dos cantidades e el cociente indicado de dichas cantidades. Se pueden escribir de dos modos: en forma quebrado, separados numerador y denominador por una raya horizontal o separadas las cantidades por el signo de división.
Así, la razón geométrica de 8 a 4 seescribe: 8 sobre 4 u 8/4, y se lee ocho es a cuatro.

Los términos de la razón geométrica se llaman antecedente el primero y consecuente el segundo. Así, en la razón 8/4, el antecedente es 8 y el consecuente 4.


PROPORCIONES
Se denomina proporción a la igualdad de dos razones. Por ejemplo, la igualdad entre las razones anteriores:

Es una proporción, lo que se puede constatar porquelos productos cruzados son iguales: 12• 5 = 4• 15
Por lo tanto, la propiedad fundamental de las proporciones es: 
1.1. Proporcionalidad directa
Dos variables están en proporcionalidad directa si su cociente permanece constante:

k es la constante de proporcionalidad.
El gráfico de dos variables en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos que están sobre una recta que pasa por elorigen del sistema de coordenadas. Analizando el gráfico se visualiza que si una magnitud aumenta, la otra también aumenta.

Ejemplo:
Un vehículo en carretera tiene un rendimiento de 16 km por cada litro de bencina. ¿Cuántos litros de bencina consumirá en un viaje de 192 km?
Se forma la proporción entre las variables distancia – consumo de bencina (si aumenta la distancia, entonces se deduce que elconsumo aumenta, por lo tanto son directamente proporcionales).

Ocupando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos que:

Entonces,
16/1 = 16 (constante)    y    192/12 = 16 (constante)
1.2. Proporcionalidad inversa
Dos variables están en proporcionalidad inversa si su producto permanece constante:

k es la constante de proporcionalidad.
El gráfico de dos variables queestán en proporcionalidad inversa es un conjunto de puntos que están sobre una hipérbola.

Analizando el gráfico se visualiza que a medida que una magnitud aumenta, la otra magnitud disminuye.
Ejemplo: Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4 obreros?
La relación entre el número de obreros – tiempo es de proporcionalidad inversa, ya que si trabajan más obreros, entoncesse demorarán menos tiempo en terminar el trabajo. Aplicando la propiedad de las proporciones inversas, el producto entre las variables es constante:

entonces, 3 x 5 = 15 (constante)    y    4 x 3,75 = 15(constante)
1.3. Proporcionalidad compuesta
La proporcionalidad compuesta permite relacionar variables mediante proporcionalidad directa y/o proporcionalidad inversa.
Para resolver ejerciciosde este tipo, primero se debe dilucidar qué proporcionalidad existe entre cada par de variables. Posteriormente, se debe determinar la constante de proporcionalidad que nos permitirá determinar si son proporcionales o inversamente proporcionales.
Ejemplo:
Se necesitan 20 obreros para pavimentar 2 km de camino en 5 días. ¿Cuántos obreros pavimentarán 5 km en 10 días?
a) En primer lugar,...