Autovalores

“Autovalores.
Diagonalización.
Aplicaciones empleando sistemas de cálculo
simbólico “

INDICE
1. Introducción..................................................................................................3
2. Autovalores....................................................................................................5
2.1. Autovalores asociados a unaT.L........................................................5
2.2. Autovalor asociado a una matriz.........................................................6
2.3. Cálculo de autovalores y autovectores...............................................8
2.4. Autovalores de matrices semejantes.................................................21
3.Diagonalización............................................................................................22
3.1. Diagonalización ortogonal de matrices simétricas...........................30
3.2. Potencias de matrices diagonales......................................................34
3.3. Diagonalización de T.L.........................................................................37
4.Aplicaciones.................................................................................................39

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4.1. Sistemas dinámicos.............................................................................39
4.2. Sistemas de ecuaciones diferenciales...............................................49
4.3. Cadenas de Markov.............................................................................56
4.4. Aplicaciones a la Teoría de Gráficas..................................................604.5. Aplicación a la geometría.....................................................................63

4.5.1. Curvas planas de segundo grado..............................................63
4.5.2. Superficies. Cuádricas................................................................74
5.Apéndice..........................................................................................................81
6. Bibliografía......................................................................................................86

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1.INTRODUCCIÓN
El nombre original de los autovalores fue el de eigenvalores, donde eigen en
alemán significa propio. Recién en 1840, después de más de un siglo de uso, el
matemático francés Augustin-Louis (1789-1857), barón de Cauchy utiliza por
primera vez el nombre devalores propios quedando con el tiempo simplemente
Autovalores.
Los autovalores se emplean en diversas áreas de la matemática, en la resolución
de problemas hidrodinámicos, mecánicos, físicos de ingeniería eléctrica y nuclear,
etc.
Aparentemente, los autovalores tuvieron su origen en el estudio de las formas
cuádricas y en el desarrollo de la mecánica celeste.
Se han encontrado manuscritos en dondeel matemático suizo Leonhard Euler
(1707-1783), aproximadamente en 1740 los usaba en forma implícita para
describir geométricamente las formas cuadráticas en tres variables que
responden a la forma F(x ; y ; z) = a x2 + b y2 + c z2 + d xy + e xz + f yz.
En 1743, Euler introdujo por primera vez el método estándar de resolución de
una ecuación diferencial de orden n con coeficientes constantes:
y(n)

+ a(n −1) y(n−1) + ... + a1 y + ao = 0 , usando funciones de la forma y = e λ t , donde

λ es una raíz (autovalor) de la ecuación característica :
zn + a(n −1) zn −1 + ... + a1 z + ao = 0 .

Veinte años más tarde el matemático francés Joseph-Louis de Lagrange (17361813), dio una versión más explícita

sobre la resolución de las ecuaciones

diferenciales estudiada por Euler, al hallar lasolución de un sistema de seis
ecuaciones

diferenciales

que

representaban

los

movimientos

planetarios
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conocidos hasta ese momento; deduciendo una ecuación polinómica de sexto
grado cuyas raíces eran los autovalores asociados a una matriz de orden 6x6
que correspondía a la matriz de los coeficientes de dicho sistema.
En 1820 , Cauchy empleó los autovalores para determinar los ejes...