Axiomas De Probabilidad

AXIOMAS BASICOS DE PROBABILIDAD
1. Se le asigna un valor de probabilidad igual a 0 ó 0% a un suceso imposible de ocurrir y se le asigna el valor de probabilidad igual a 1 ó 100% a un suceso cuya ocurrencia es una certeza.

2. Cualquier evento A que pertenece a un espacio muestra S satisface la siguiente condición
0< P(A) < 1

3. Dado un evento A que pertenece a un espacio muestra S.Si Ā representa el complemento del evento A, entonces:
P(Ā) = 1 – P(A)

4. La suma de probabilidades de cada uno de los elementos del espacio muestra es siempre igual a 1. Es decir:
P(S) = 1.
AXIOMAS DE PROBABILIDAD
Sea S un espacio muestral, sea ε la clase de eventos y sea P una función de valores reales definida en ε. Entonces P se llama función de probabilidad, y P(A) es llamadaprobabilidad del evento A si se cumplen los siguientes axiomas:
 [P1] Para todo evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1
 [P2] P(S)= 1
 [P3] Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces
P (A U B)= P(A) + P (B)
 [P4] Si A1, A2,…. es una serie de eventos mutuamente exclusivos, entonces
P (A1 U A2 U….) = P(A1)+ P(A2) +……..
Las siguientes observaciones conciernen al orden en que están los axiomas [P3] y[P4]. Ante todo, al utilizar [P3] y la inducción matemática se puede probar que para eventos mutuamente exclusivos A1, A2,…. An
P (A1 U A2 U….U An) = P(A1)+ P(A2) +……..+ P(An)
Se debe enfatizar que [P4] no proviene de [P3] ni siquiera la anterior demostración se cumple para todo entero positivo n. Sin embargo, si el espacio muestral S es finito, entonces claramente el axioma [P4] essuperfluo.
Los siguientes teoremas se deducen directamente de los axiomas anteriores.

1. Teorema 1: Si P (Ø)=0
Demostración: Sea A un conjunto, entonces A y Ø son disyuntos y AUØ = A
Por [P3], P(A)= P(AUØ)= P(A)+P(Ø), restando P(A) de ambos lados obtenemos el resultado.
2. Teorema 2: Si Ac es el complemento de un evento A, entonces
P (Ac)= 1 – P(A)
Demostración: El espacio muestral S se puededescomponer en los eventos A y Ac mutuamente exclusivos, esto es, S= A U Ac. Por [P2] y [P3] se obtiene: 1 = P(S) = P(A U Ac) = P(A) + P(Ac) de lo cual se desprende el resultado.
3. Teorema 3:Si A C B , entonces B se puede descomponer en los
eventos A y B\A mutuamente exclusivos. Así: P(B) = P(A) + P(B\A), con lo cual se comprueba el enunciado puesto que P(B\A) ≥ 0.
4. Teorema 4: Si A y Bson dos eventos, entonces
P(A\B) = P(A) – P(A ∩ B)
Demostración: A se puede descomponer en los eventos mutuamente exclusivos A\B y A ∩ B: esto es, A= (A\B) U (A ∩ B). Por consiguiente, por
[P3], P(A) = P (A\B) + P(A∩ B) de lo cual se obtiene el resultado.
5. Teorema 5: Si A y B son dos eventos, entonces
P(A U B) = P(A)+ P(B) – P(A∩ B)
Demostración: Obsérvese que AUB se puede descomponer enlos eventos A\B y B mutuamente exclusivos; esto es, AUB= (A\B)UB. Entonces por [P3] y el teorema 4,
P(AUB)= P(A\B)+ P(B)
=P(A) – P(A∩ B) + P(B)
= P(A) + P(B) – P(A∩ B) , que es el resultado buscado.
Aplicando el teorema anterior por segunda vez obtenemos el Corolario 6: Para los eventos A,B y C.
P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)–P(A∩B)-P(A∩C) – P(B∩C) + P(A∩B∩C)

Teorema 6 Sea S unespacio finito equiprobable con eventos A y E. Entonces
P(A\E)= número de elementos de A∩E
Número de elementos de E
O P(A\E)= número de maneras en que A y E pueden suceder
Número de maneras en que E puede suceder

Ejemplo:
Un hombre visita a un matrimonio que tiene dos hijos. Uno de los hijos , un niño, entra en la sala. Hallar la probabilidad p de que el otro sea también niño si, a) Sesabe que el otro hijo o hija es menor y b) No se sabe nada del otro hijo.
El espacio muestral para el sexo (en orden de nacimiento) de los dos hijos es S={MM, MF, FM, FF} con probabilidad de ¼ para cada muestra.
a) El espacio muestral reducido consta de dos elementos, {MM, MF}, o sea p=1/2
b) El espacio muestral reducido consta de tres elementos, {MM,MF,FM}
O sea p=1/3

2. Teorema de...