Bachiller En Ciencia

TRANSFORMACIÓN VECTORIAL
Definición
Sean V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal de V en W es una función T: V W, que satisface las siguientes propiedades:
1. T(u + v) = T(u) + T(v)
2. T(av) = aT(v),
Se dice, respectivamente, que T preserva la suma y el producto por escalares. En caso de que V = W la transformación lineal T: V V también recibe el nombre de operadorlineal sobre V.

Propiedades:
* Para toda transformación lineal T: V   W, T (-x) = -T (x).

Para toda transformación lineal T: V   W, T (0) = 0 (El que aparece en la izquierda es el vector nulo de V, mientras que el que aparece en el lado derecho es el vector nulo de W. Se puede escribir también T (0V) = 0W ).

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, W un espaciovectorial, {v1,..., vn} una base de V, y {z1,..., zn} un conjunto cualquiera de vectores de W. Entonces existe una única transformación lineal T: V    W tal que T (vi) = zi (1 ≤ i ≤ n).

Imagen:
Sea T : V →W una transformación lineal y sea B = {v1, . . ., vn} el generador de V .
Entonces el conjunto T(B) = {T(v1), . . ., T(vn)} genera a la imagen de T. Y por lo tanto, el conjunto imagen de unatransformación lineal es un subespacio lineal.
Demostración:
Sea w un elemento de W en la imagen de T, por tanto debe existir un vector v en V tal que
T(v) = w. Como B genera a V y v ∈ V deben existir escalares c1,c2,. . . ,cn tales que:
* v = c1 v1 + · · · + cn vn si aplicamos T a la igualdad anterior
* T(v) = T(c1 v1 + · · · + cn vn) como T es lineal
* T(c1 v1 + · · · + cn vn) =c1 T(v1) + · · · + cn T(vn) de donde
* w = T(v) = c1 T(v1) + · · · + cn T(vn)
Lo cual dice que w es combinación lineal de T(B). Es decir, w esta en el generado por T(B). Hemos probado que: si w está en la imagen de T, entonces w está en el generado por T (B). Por otro lado, si w está en el generador por T(B), entonces deben existir c1, c2, . . . ,cn tales que
w = c1 T (v1) + · · · + cn T(vn) siendo T lineal lo anterior queda:
w = T (c1 v1 + · · · + cn vn) siendo v = c1 v1 + · · · + cn vn un elemento de V, se concluye que w está en la imagen de T. Hemos probado que: si w está en el generado por T(B), entonces w está en la imagen de T. De los dos hechos demostrados se deduce que el conjunto imagen de T es igual al espacio generado por T (B).

Ejemplo :
Sea F : R3 → R3la transformación lineal definida por:
F((x, y, z)′) = (−2 x − 4 z, −x − 2 z, 3 x + y + 6 z)′

Indique en qué se transforma
La línea L1: x/2 = y/(−3) = z
El plano P1: x − 2 y + 3 z = 0
El plano P2: x − 2 y + 2 z = 0
Solución:
Al pasar por el origen, la línea x/2 = y/(−3) = z corresponde al espacio generado por su vector de dirección que es d =< 2, −3, 1 >′. Por el resultadoanterior, la imagen de la línea será el espacio generado por:
T(d) = (−2(2) − 4(1), −(2) − 2(1), 3(2) + (−3) + 6(1))′= (−8, −4, 9)′
El generado por un vector corresponde a una línea que pasa por el origen, por tanto, la imagen de la línea es la línea:
x-8=y-4=z9
El plano P1: x − 2 y + 3 z = 0 corresponde al conjunto:
xyz = 2y-3zyz = y 210 + z -301
Es decir, corresponde al espacio generado porlos vectores v1 = (2, 1, 0)′ y v2 = (−3, 0, 1)′. Por tanto, la imagen del plano P1 corresponderá al generado por T(v1) = (−4, −2, 7)′ y T(v2) = (2, 1, −3)′ . En R3 el generado por dos vectores no colíneales corresponde a un plano que pasa por el origen. Su vector normal será:
n = T(v1) × T(v2) = (−1, 2, 0)′
Por tanto el plano P1 se transforma en el plano:
−1 x + 2 y + 0 z = 0
El plano P2: x −2 y + 2 z = 0 corresponde al conjunto:
xyz = 2y-3zyz = y 210 + z -201
Es decir, corresponde al espacio generado por los vectores u1 = (2, 1, 0)′ y u2 = (−2, 0, 1)′. Por tanto, la imagen del plano P2 corresponderá al generado por T(u1) = (−4, −2, 7)′ y T(u2) = (0, 0, 0)′. En R3el generado por tales vectores corresponde a el espacio generado sólo por T(u1) que corresponde a la...