bachiller en compu

UNIDAD 1 Ecuaciones e inecuaciones

1.4

1.4 Ecuaciones cuadráticas

1

Ecuaciones cuadráticas

OBJETIVOS


Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de factorización.



Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de completación de cuadrados .



Resolver ecuaciones cuadráticas por medio de la fórmula general.

Ecuación cuadrática
Una ecuación cuadrática convariable x es aquella que puede escribirse en la forma

ax2  bx  c  0, a  0
Los métodos utilizados frecuentemente para resolver ecuaciones cuadráticas son
 Factorización
 Completación de cuadrados
 Fórmula general

Solución por factorización
Para resolver la ecuación cuadrática ax2  bx  c  0 por éste método, es necesario que el polinomio
ax2  bx  c se pueda factorizar fácilmentecomo un producto de factores lineales; entonces la ecuación
se puede resolver utilizando la propiedad del producto cero
Propiedad del producto cero
Si A y B son dos expresiones algebraicas, entonces

AB  0

si y solo si

A0 o B0

La propiedad anterior establece que el si el producto de dos factores es igual a cero, entonces al
menos uno de los dos factores tiene que ser igual acero.

Ejemplo 1: Resolviendo ecuaciones cuadráticas por factorización
Resuelva las siguientes ecuaciones por factorización
a.

x2  4  0

b.

x2  x  6  0

c. 8x2  2 x  1

Solución
a.

Observe que el lado izquierdo de la ecuación se puede factorizar como una diferencia
de cuadrados

x2  4  0
( x  2)( x  2)  0

UNIDAD 1 Ecuaciones e inecuaciones

1.4 Ecuacionescuadráticas

2

Aplicando la propiedad del producto cero y despejando x en cada caso se tiene que
x20
x20
o
x2
x  2
Por lo tanto las soluciones son x  2 y x   2
b.

Para factorizar un trinomio general de la forma x2  bx  c se buscan dos números
que multiplicados den c y que sumados den b.
Para factorizar, x2  x  6  0 , se buscan dos números que multiplicados den 6 y quesumados den  1 , estos números son  3 3 ya qué (3)(2)  6 y 3  2  1 .
Entonces
x2  x  6  0
(x 

)( x 

)0

( x  3)( x  2)  0

Aplicando la propiedad del producto cero
x30
o
x3

x20
x  2

Por lo que las soluciones son x  3 y x   2
c.

Para resolver ésta ecuación se trasladan los términos al lado izquierdo para obtener la
ecuación en su formageneral

8 x2  2 x  1
8 x2  2 x  1  0
Para factorizar un trinomio de la forma ax2  bx  c se sugiere usar el procedimiento
siguiente:
Multiplique el trinomio por a y divídalo entre a ( a  8 en el ejemplo). El trinomio se
debe agrupar como se muestra a continuación
8 x2  2 x  1 

8(8 x 2  2 x  1) (8 x )2  2(8 x )  8

8
8

Ahora el trinomio se puede factorizar usando elprocedimiento que se utiliza para el
trinomio de la forma u2  bu  c con u  8 x

(8 x  )(8 x  )
8
Se buscan dos números que multiplicados den  8 y que sumados den  2 . Estos
números son  4 y 2.
8 x2  2 x  1 

8 x2  2 x  1 

(8 x  4)(8 x  2)
8

Para terminar el proceso de factorización hace falta dividir entre 8, evitando que en el
proceso resulten fracciones. Observe queel primer factor es divisible entre 4 y el
segundo es divisible entre 2 y como 8  (4)(2)
8 x2  2 x  1 

(8 x  4)(8 x  2) 8 x  4 8 x  2


(4)(2)
4
2

 (2 x  1)(4 x  1)

Ahora se iguala a cero cada factor y se despejan los valores de la incógnita.

UNIDAD 1 Ecuaciones e inecuaciones

1.4 Ecuaciones cuadráticas

2x  1  0

3

4x  1  0

2x  1

4 x  1

ox 1
2

x  1
4

1
De donde las soluciones de la ecuación son x 
y
2

x  1
4

Solución por completación de cuadrados
La ecuación cuadrática ax2  bx  c  0 se puede resolver completando un trinomio cuadrado perfecto de
la forma x2  2wx  w2 a partir de los términos ax2  bx . El trinomio cuadrado perfecto se puede
factorizar como  x  w2 y a partir de ahí es posible...