Beto
CICLO: 2010 – I
INTEGRALES DOBLES E INTEGRALES ITERADAS
f(x; y)dA
R
a
b
d c
f(x; y)dy dx ;
;
b d c
f(x; y)dA
R d b a
c
d
b a
f(x; y)dx dy
Por lo tanto:
R
f(x; y)dA
R
a
f(x; y)dy dx
c
f(x; y)dxdy
EJEMPLO1: Seaf : 2 Evalúe:
z f(x; y) x 2 y 2 y R 1 ; 1 0 ; 1
R
x 2 y2 dxdy
dxdy 1
1 1
SOLUCIÓN:
x y
2 2
(x y )dy dx 0
2 2 1
1
x 2 y 1 y3 dx 3 0 1
1
1
1
R
x 2 y 2 dxdy
(x 2
1
1 )dx 2 3
x 2 1 dx 2 1 x3 x 4 3 3 3 0 3 0
,donde R es el
EJEMPLO2: Calcule la integral doble cuadrado 0; SOLUCIÓN:
/2
cos x sen y dxdy
R
/2
0; . 2 2
cos x sen y dxdy
R
0
/2 0
cosxdx seny dy
/2
0
sen x 0
/2
/2
sen y dy
NOTACIÓN:
b d
cos x sen y dxdy
R
0
seny dy cos y 01
a
f(x; y)dydx
c
a
b
d c
f(x; y)dy dx ;
d
b
c
f(x ; y)dxdy
a
c
d
b a
f(x; y)dx dy
Lic.: Valverde Sandoval, Oscar G.
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Análisis Matemático II
CICLO: 2010 – I
PRÁCTICA DIRIGIDA DE AULA
1. Evalúe las siguientes integrales iteradas.
1 1 1 1
a)
b)
1 0 /2 1 00
(x y y ) dydx
4
2
c)
y cos x 2 dy dx
d)
0 0 0 2 1 1
xy e x y dy dx
xlog y dydx
2. Use el principio de Cavalieri para mostrar que los volúmenes de dos cilindros con la misma base y la misma altura son iguales (ver figura).
r
r
h r
3. Usando el principio de Cavalieri, calcule el volumen de la estructura mostrada en la figura adjunta;donde cada sección transversal es un rectángulo de longitud 5 y ancho 3
3
Calcule este volumen 7 3 5
4. Un leñador corta una pieza W con forma de cuña de un árbol cilíndrico de radio r , mediante dos cortes de sierra hacia el centro del árbol: uno horizontal y otro a un ángulo . Calcule el volumen de la cuña W usando el principio de Cavalieri.
Lic.: Valverde Sandoval, Oscar G.Página 190
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X
x
Y
5. Calcule:
x y 1 x y dx dy
R
donde R 0;2 0;2 .
LA INTEGRAL DOBLE COMO LÍMITE DE UNA SUCESIÓN DE SUMAS
Consideremos: f : R 2
z f(x; y) donde R es el dominio de f
definido por: R a;b c ;d (rectángulo cerrado) PARTICIÓN REGULAR DE R DE ORDEN n: Son dos coleccionesordenadas de (n 1) puntos igualmente espaciados
x jj0 y ykk 0 , esto es, puntos que satisfacen:
a x 0 x1 ... xn b , c y 0 y1 ... yn d y
x j 1 x j ba n
,
n
n
y k 1 y k
dc n
yn d a x0 x1
xj x j 1
xn b
y k 1 yk y1
c y0
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Y
yn dyk 1 yk y1 c y0
R a;b c;d
0
X
a x 0 x1
xj
x j1
xn b
DEFINICIÓN.- Se dice que una función f : R 2 dominio de f .
z f(x; y) es
acotada si existe un número M 0 tal que f(x; y) M para todo (x; y) en el
OBSERVACIÓN: Una función continua en un rectángulo cerrado siempre es acotada, pero por ejemplo,
f : 2
no es acotada, pues
f(x; y)
1 en 0;1 0;1 x
1 se hace arbitrariamente grande para x cerca de cero. x El rectángulo 0;1 0;1 no es cerrado, pues el punto inicial 0 falta en el
intervalo 0;1 . Ahora sea R jk x j ; x j 1 yk ; yk 1 y sea c jk cualquier punto en R jk .
d
Y
y
yk 1 yk
c jk
c
0
X
a
xj
x j1
x
b
Lic.: Valverde Sandoval, Oscar G....
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