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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH

INGENIERÍA DE CONTROL

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M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
El problema más importante de los sistemas de controllineal tiene que ver con la estabilidad. Un sistema de
control es estable si y sólo si todos los polos en lazo cerrado se encuentran en el semiplano izquierdo del
plano s .
Consideremos la siguiente función de transferencia de lazo cerrado.

C (s ) b0 s m + b1s m−1 + L + bm−1s + bm B(s )
=
=
R(s ) a0 s n + a1s n−1 + L + an−1s + an
A(s )
En donde las a y las b son constantes y m ≤ n .Criterio de estabilidad de Routh.
El criterio de estabilidad de Routh permite determinar la cantidad de polos en lazo cerrado que se encuentran
en el semiplano derecho del plano s (raíces positivas) sin tener que factorizar el polinomio. Este criterio de
estabilidad sólo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de términos.
Procedimiento en el criterio de estabilidad de Routh:
1. Escribael polinomio en s del denominador en la forma siguiente:

a0 s n + a1s n−1 + L + an−1s + an = 0
En donde los coeficientes son cantidades reales. Suponemos que an ≠ 0 ; es decir, se elimina cualquier raíz
cero.
2. Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, hay
una raíz, o raíces imaginarias o que tiene partes reales positivas. Ental caso, el sistema no es estable.
La condición necesaria, pero no suficiente, para la estabilidad es que todos los coeficientes de la ecuación
estén presentes y tengan signo positivo.
3. Si todos los coeficientes son positivos, ordene los coeficientes del polinomio en renglones y columnas de
acuerdo con el patrón o arreglo siguiente:

sn

a0

a2

a4

a6 L

n−1

s
s n−2

a1b1

a3
b2

a5
b3

a7 L
b4 L

s n−3

c1

c2

c3

c4

n−4

d1

d2

d3

d4 L

M

M

M

s

2

e1

e2

s

1

f1

s

0

g1

s

L

Los coeficientes b1 , b2 , b3 , K , c1 , c2 , c3 , K , d1 , d 2 , K , etc., se evalúan del modo siguiente:

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a1a2 − a0 a3
a1
a1a4 − a0 a5
b2 =
a1
a1a6 − a0 a7
b1 =
a1
M
b1 =

b1a3 − a1b2
b1
b1a5 − a1b3
c2 =
b1
b1a7 − a1b4
c3 =
b1
M
c1 =

c1b2 − b1c2
c1
c1b3 − b1c3
d2 =
c1
M
d1 =

La evaluación continúa hasta que todas las restantes son cero.
El criterio de estabilidad de Routh- Hurwitz plantea que elnúmero de raíces de la ecuación con partes reales
positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del arreglo.
La condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación se encuentren en el semiplano
izquierdo del plano s es que todos los coeficientes de la ecuación sean positivos y que todos los términos de
la primera columna delarreglo tengan signo positivo.

Ejemplo 1
Considere el polinomio siguiente:

s 4 + 2 s 3 + 3s 2 + 4 s1 + 5 = 0
Los primeros dos renglones se obtienen directamente del polinomio dado. El arreglo de coeficientes sería

s4

1 3 5

s

3

2 4 0

s

2

1 5

1

−6

0

5

s
s

Hay dos cambios de signo en los coeficientes de la primera columna. Esto significa que existendos raíces con
partes reales positivas. Observe que el resultado no se modifica cuando los coeficientes de cualquier renglón
se multiplican por, o se dividen entre, un número positivo para simplificar el cálculo.

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