Boole






SISTEMAS LOGICOS I

DIGITAL I



Práctica de manipulación algebraica de funciones booleanas




Práctica de manipulación algebraica de funciones booleanas

Se pretende que todos los problemas sean resueltos mediante una manipulación algebraica, haciendo uso de las leyes y teoremas del álgebra de Boole.

PROBLEMA NRO. 1:

Simplificar las siguientes funciones booleanas:
a) f1=A’+B’+ABC’
b)f2=A+A’B+A’B’C+A’B’C’D
c) f3=(A’+ABC)+(A’+ABC’)+(A+A’BC)
d) f4=ABC+A(B.C)’+A’BC
e) f5= A+B’+ABC’
f) f6=A’BC+AB+BC+A’B’C
g) f7=A’D’+A’B’+C’D’+BC
h) f8=AB+B’C+AC’D
i) f9=3(1,3,6,7)
j) f10=4 (0,1,2,3,6,12,14)
k) f11= A’B’C’+AB’D’+AC’D+B’C’D’+A’BD+ABC’+BD
l) f12=A’C’D+A’BC’+ABD’+BCD’+B’CD+AC’D
m) f13=4(1,4,6,11,14)
n) f14=4 (0,2,7,8,10,15)


PROBLEMA NRO. 2:

Obtener el complemento (o negación) decada una de las siguientes funciones lógicas y después simplificarlas:
a) f1=A’(B’+C’) (A+B+C’)
b) f2=A’+(C’+B+B’D’) + (C+B’D)
c) f3=(A+B’C’) (B+A’C’)(C+A’B’)
d) f4=A+(C’+B+B’D’). (C+B’D)
e) f5=(A+(B’+CD).(C+AB’)).(B+C’)
f) f6= (B(A+C’)+A’).(B’+A)

PROBLEMA NRO. 3:

Determinar las condiciones que deben cumplir las variables booleanas A y B para que se verifiquen las siguientes ecuaciones:
a)A’+AB=0
b) AB=AC
c) ABD+BCD+A’CD=ABD+A’CD

PROBLEMA NRO. 4:

Determinar ambas formas canónicas, expresadas tanto algebraica como numéricamente, de las siguientes funciones lógicas:
a) f1=A(B’+C’)+C
b) f2=AB+AB’C+A’B’
c) f3= ABCD’+ABC’+A’BD
d) f4=AB+(A+C)B’+A’B’C
e) f5=3 (0,1,3,4,5,7)
f) f6=4 (0,1,2,3,12,15)
g) f7=(A+B)’ + A’BC+ (A.(B+C))’
h) f8=4 (0,3,11,15)
i) f9=A’(B+C)(B’+A)+AB’C
j)f10=(A’BC+AB’D’)(C+BD)’

PROBLEMA NRO. 5:

Demostrar que las siguientes funciones lógicas son EQUIVALENTES:
f1= ABC+AB’+AC’+A’BC
f2= A+BC

PROBLEMA NRO. 6:

Dada una función cuya expresión algebraica es: f=(A+B+C)’  D’
obtener las expresiones canónicas numéricas de suma de productos y de producto de sumas.

PROBLEMA NRO. 7:

Demostrar las siguientes propiedades de la función OR-exclusiva:
a) A  B=A’  B’=(A’ B)’=(A  B’)’
b) (A  B)’=AB+A’B’
c) (A  B)’= A  B’=A’  B
d) A(B  C)=AB  AC
e) A  1= A’
f) A  0 = A
g) Si: A  C=B  C , entonces : A=B
h) Si: A  B=0, entonces : A=B
i) Si: A  B  C=D, entonces: A  B= C  D y A= B  C  D
j) Demostrar si esta identidad es cierta o falsa: A  (B+C)=(A  B) + (A  C)
k) A+B= A  B  AB
l) Usando la ecuación k) cualquier expresión puedeser convertida en otra equivalente conteniendo sólo las operaciones XOR y AND. Transformar la siguiente expresión de esa manera:
f=ABC’+AB’C+A’C

PROBLEMA NRO. 8:

Siendo f= 4(5,6,13) y f1=4(0,1,2,3,5,6,8,9,10,11,13) encontrar una función f2 tal que se verifique:
f=f1.f2’



Soluciones a los Problemas:

Veamos un sumario de las leyes y teoremas del álgebra de Boole que usaremos en la resoluciónde los problemas:

Nro. Orden
Nombre
a) Forma OR
b)Forma AND
1
Ley de IDEMPOTENCIA
A+A=A
A.A=A
2
Existencia de ELEMENTOS NEUTROS
(Ley de Identidad)
A+0=A
A.1=A
3
Ley de ANULACION
(Propiedad de los elementos neutros)
A+1=1
A.0=0
4
Ley CONMUTATIVA
A+B=B+A
A.B=B.A
5
Ley ASOCIATIVA
(A+B)+C=A+(B+C)
(A.B).C=A.(B.C)
6
Ley del INVERSO
A+A’ =1
A.A’=0
7
Ley DISTRIBUTIVA
A.(B+C)=A.B+AC
A+B.C=(A+B).(A+C)
8Ley de ABSORCION
A+A.B=A
A.(A+B)=A
9

A+(A’.B)=A+B
A.(A’+B)=A.B
10
Ley de CONSENSO
AB+BC+A’C=A’B+A’C
(A+B).(B+C).(A’+C)=(A+B).(A’+C)
11
Ley de MORGAN
(A+B)’=A’.B’
(A.B)’=A’+B’
12
DOBLE NEGACION
(Ley de Involución)
(A’)’=A



En las columnas a) y b) se indican las formas DUALES de representación de cada ley, ya que el PRINCIPIO DE DUALIDAD establece que si en una identidad se intercambian entre sílas operaciones suma y producto lógicos, y los elementos 0 y 1, la identidad permanece válida.
De ahora en adelante, para hacer referencia a una determinada identidad la identificaremos por la fila y la columna del cuadro. De esta manera, el indicador(6.a) hará referencia a la identidad A+A’=1. Esto nos permitirá explicar en forma concisa las respectivas leyes usadas en la manipulación...