Boole

El Álgebra de Boole
y el
Diseño de Computadoras
René A Hernández Toledo
Colegio Universitario de Cayey
25 de febrero de 1997

1.

Introducción

Se oye, a menudo, decir que el Álgebra de Boole y las computadoras están relacionadas. Pero
no se oye tanto una explicación acerca de esa relación. ¿Qué hizo Boole? ¿Como se aplica su
álgebra al diseño de computadoras?
Queremos, en este artículo,responder de manera simple a esas preguntas. Veremos, en la sección 2, un recordatorio del Álgebra de Boole y sus relaciones con la Lógica. Luego, en la
sección 3, hablaremos de “máquinas” que implementan los conectivos lógicos, para continuar
en la próxima sección con la implementación de cualquier función booleana. En la sección 5,
última de las secciones, aplicaremos lo anterior a la construcción deuna máquina electrónica
de sumar.

2.

La Lógica y el Álgebra de Boole

George Boole (1815–1864) fue un matemático inglés que junto con sus colegas—de la llamada escuela inglesa de Álgebra, intentaban algebrizar todo lo conocido. De los trabajos de
esos matemáticos surgieron las teoría de los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo las
matrices y los determinantes; así como el estudio de losvectores y el análisis vectorial. Le correspondió a Boole intentar la algebrización de la Lógica. Los resultados de sus investigaciones
aparecieron en un libro titulado “An Investigation on the Laws of Thought”. A continuación,
presentaremos en forma breve los elementos de la lógica y el álgebra de Boole necesarios para
el entendimiento posterior.

2.1.

La Lógica

El estudio de la Lógica comienzacon las proposiciones, que son aquellas expresiones verbales
o escritas que aseveran o niegan un hecho o relación. De forma más precisa, las proposiciones
son aquellas oraciones para las cuales tiene sentido preguntarse si son verdaderas o falsas. Por
ejemplo,
Ayer llovió en San Juan
Hoy es jueves.
2 + 2 = 5.
Un primer punto a destacar es que hay frases u oraciones que no son del tipo anterior,por
ejemplo:
¿Qué día es hoy? o ¡Oh, bella rosa!

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LÓGICA Y ÁLGEBRA DE BOOLE

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no son proposiciones; ya que no puedo decir si son verdaderas o falsas. La algebrización de
la Lógica comienza estableciendo que representaremos las proposiciones, al igual que los números en álgebra, por letras; digamos p, q, r. Supondremos que cada proposición puede ser
verdadera o falsa (pero no ambas).Representaremos esas situaciones, asignando el valor 1 a
una proposición verdadera (p = 1) y el valor 0 a una proposición falsa.
Así, como hay operaciones en el álgebra usual, hay “operaciones” en Lógica, a las que llamamos conectivas. Usando conectivas construiremos nuevas proposiciones a partir de dos proposiciones dadas. Los conectivos usuales son “o”, “y”, “si . . . entonces . . . ”. Consideremos elconectivo “y”, llamado técnicamente la conjunción. Si tenemos dos proposiciones, digamos p
= “hoy es jueves”, q = “hoy está lloviendo”, entonces la proposición p y q nos dice que “hoy
es jueves y (hoy) está lloviendo”. Las conjunciones se consideran verdaderas, cuando sus dos
componentes lo son. En el ejemplo, p y q será verdadera cuando, y sólo cuando, se cumpla que
es jueves y esté lloviendo. Esteconvenio se presenta en la siguiente tabla.
p
0
0
1
1

q p AND q
0
0
1
0
0
0
1
1

El uso de AND para este conectivo es tradicional en la electrónica digital. A continuación,
presentaremos las tablas de otros conectivos:
p
0
0
1
1

q p OR q p XOR q
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0

En esa tabla, OR y XOR denotan las dos modalidades lógicas correspondientes al “o” de nuestro idioma. OR es la modalidadincluyente: uno o el otro o ambos; mientras que XOR es la
modalidad excluyente: uno o el otro, pero no ambos.
Finalmente, es importante para nuestros efectos considerar el conectivo asociado a la negación. Donde por negación de una proposición queremos decir la proposición cuyo valor es
precisamente el opuesto al valor de la proposición original.
p NOT p
0
1
1
0

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LÓGICA Y ÁLGEBRA DE BOOLE

2.2.

3...