cálculo

Universidad Técnica de Ambato
Facultad de Ingeniería Civil y Mecánica
Carrera Ingeniería Civil

Módulo de Calculo Integral

Bibliografía
1. Cálculo Diferencial e Integral – SHAUM
2. Análisis Matemático – DEMIDOVICH
3. Análisis Matemático - BERMAN
4. Análisis Matemático – LARA Y AROBA
Programa Analítico de la Asignatura – Calculo Integral
Un Repaso sobre Derivadas
IntegraciónFormulas fundamentales de Integración
Artificios de Integración
Demostraciones
Integración por partes
Integrales Trigonométricas
Cambios de variable trigonométrica
Descomposición de fracciones
Diversos cambios de variable
Aplicaciones de las integrales indefinidas
Integrales definidas
Cálculo de Áreas mediante Integración
Cálculo de sólidos – Revolución de volúmenes
CentrosGeométricos
Inercias





Derivación
La derivación no es más que el procedimiento mediante el cual hallamos la pendiente de una recta tangente que pasa por un punto cualquiera a la curva y=f(x).

tg α; m; y`;
Repaso de ejercicios de derivación
Derivar
Y=x²+2x+5
Y`=2x+2
Y=
Y`=
Y=
Y`=

Derivar las siguientes funciones
Y= .ln -









y= arctg x + arctg x³
y`=. 3x²
y`= . 3x²
y`=
y`=
y`=
y`=

y= - arcctg
y`= .
y`=
y`=
y`=
y`=
y`=

y= ( ln³x + 3ln²x + 6lnx + 6)
y`= ( lnx³) + 3 (lnx²) + 6lnx + 6) + ( 3( lnx)² + 6 (lnx) + 6)
y`= + ( + + )
y`= + ( )
y`= +
y`=
y`=



y= arctg (tgx)²









Integracion
Es el proceso inverso de la derivacion,es decir conociendo la pendiente de una recta tangente debemos hallar la funcion inicial a la que corresponde esta pendiente .
Derivar y luego integrar la siguiente funcion.
Y=4xˆ5-2xˆ4+6x³-2x²+5x+2

dx
= - + - +
dy= - + - +
y= 20 – 8 + 18 – 4 + 5x
y= 4xˆ5 -2xˆ4+ 6x³ - 2x² + 5x + C

Podemos decir que :
= k. + C

Formulas fundamentales de Integracion.
1. = f(x) + C= 5x² + C
= 10x + C

2. = +
= + = +



3. =
= =5 .

4. + C
+ C


5.

En Integrales si el numerador tenemos la derivada del denominador en este caso la respuesta es igual al logaritmo natural del denominador.






6. dx = + C
7. dx = + C
8. = - cos x +C
9. = sen x +C
10. = - ln ( cos x ) +C
ln ( ) + C
(ln1 – ln (sec x ) ) + C
Ln (sec x)+ C
Entonces :
= ln (sec x ) + C
11. = ln ( sen x ) +C
Ln ( ) + C
Ln1 – ln csc x +C
0-Ln csc x + C
Entonces:
= -ln (csc x ) + C
12. =
= ln (secx + tg x )+ C
13. = ln ( csc x – ctg x ) +C
14. = tg x +C
15. = - ctg x +C
16. = secx +C
17. = - csc x + C
18. = arc sen x +C
19. = arc tg x + C
20. = arcsec x + C

EJERCICIOS DE APLICACION
= + C
= = = + C= = = 3
= = = 3
= - +
= - +
= 2 - 5 +3x + C
=
== + -
= = + C

OTRO TIPO DE INTEGRALES
Para resolver este tipo de integrales es necesario realizar un cambio de variable.

Cambio de variable
=t
3x² dx =dt
dx =

= + C
( x² ) dx
Cambio de variable
x³ + 2 = t
3x² dx =dt
dx =
(x²). = dt
= = + C
Resolver el siguiente ejercicio.

Cambio devariable
= t
dx = dt
dx=
= - = ln t + C
OTRO TIPO DE INTEGRALES
Cuando ene el numerador tengamos un polinomio de igual o mayor grado de exponente en relacion al polinomio del denominador. Esto amerita realizar una division y al final se aplica el algoritmo de la division asi :
P(x) D(x)
Q(x)
R(x)
=Q(x) +



x+2
x
0 0 +2Aplicación de algunas Integrales



Cambio de variable






Cambio de variable






Cambio de variable







Cambio de variable







Cambio de variable






Cambio de variable







APLICACIÓN DE LAS SIGUIENTES FORMULAS.


















Resolver

Cambio de variable







Cambio de variable...