Cónicas
Páginas: 4 (878 palabras)
Publicado: 21 de febrero de 2013
CÓNICA
Se denomina cónica a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en tres tipos:elipse, parábola e hipérbola. Un cono circular recto.
Una superficie cónica de revolución es la superficie engendrada por una recta, llamada generatriz, que gira alrededor de otra fija, llamada eje, ala que corta en un punto. El punto de corte se llama vértice.
Consideremos la ecuación general:
* a1 x^2 + a2 y^2 + 2 b x y + 2 c1 x + 2 c2 y + d = 0.
Esta ecuación se puede escribir de formamatricial como:
* [x, y] [a1, b; b, a2] [x; y] 2 [c1, c2] [x; y] + d = 0.
, o bien:
* Pt A P + 2 Bt P + c = 0.
, donde la “t” junto a una matriz indica traspuesta, es decir, las filasintercambiadas por las culumnas, y:
* P = [x; y].
* B = [c1; c2].
* A = [a1, b; b, a2].
De una forma más compacta:
* [1, x, y] [d, c1, c2; c1, a1, b; c2, b, a2] [1, x, y] = 0.
* Qt M Q =0.
* Q = [1; x; y].
El lugar geométrico de los puntos (x, y) que verifican la ecuación anterior respecto a un sistema de coordenadas concreto se denomina cónica. En general, pediremos que:
*[a1, b; b, a2] ≠ [0, 0; 0, 0].
, ya que en caso contrario tendríamos la ecuación de una línea recta en el plano. Adoptaremos la notación:
* M = [d, c1, c2; c1, a1, b; c2, b, a2].
* A = [a1,b; b, a2].
La matriz “A” es simétrica. A la matriz “M” se la denomina matriz de la cónica, mientras que a “A” la denominamos matriz de los términos cuadráticos.
Cónica Ordinaria y Cónica Degenerada:Si una cónica cumple que:
* detM ≠ 0.
, se la denomina cónica ordinaria, y será en general una elipse, una hipérbola o una parábola.
Si una cónica cumple que:
* detM = 0.
, se la denominacónica degeneradam y será la ecuación de un punto, un par de rectas, o tal vez no tendrá solución real.
Ecuación Reducida de las Cónicas:
Consideremos una cónica de ecuación:
* a1 x^2 + a2 y^2...
Se denomina cónica a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en tres tipos:elipse, parábola e hipérbola. Un cono circular recto.
Una superficie cónica de revolución es la superficie engendrada por una recta, llamada generatriz, que gira alrededor de otra fija, llamada eje, ala que corta en un punto. El punto de corte se llama vértice.
Consideremos la ecuación general:
* a1 x^2 + a2 y^2 + 2 b x y + 2 c1 x + 2 c2 y + d = 0.
Esta ecuación se puede escribir de formamatricial como:
* [x, y] [a1, b; b, a2] [x; y] 2 [c1, c2] [x; y] + d = 0.
, o bien:
* Pt A P + 2 Bt P + c = 0.
, donde la “t” junto a una matriz indica traspuesta, es decir, las filasintercambiadas por las culumnas, y:
* P = [x; y].
* B = [c1; c2].
* A = [a1, b; b, a2].
De una forma más compacta:
* [1, x, y] [d, c1, c2; c1, a1, b; c2, b, a2] [1, x, y] = 0.
* Qt M Q =0.
* Q = [1; x; y].
El lugar geométrico de los puntos (x, y) que verifican la ecuación anterior respecto a un sistema de coordenadas concreto se denomina cónica. En general, pediremos que:
*[a1, b; b, a2] ≠ [0, 0; 0, 0].
, ya que en caso contrario tendríamos la ecuación de una línea recta en el plano. Adoptaremos la notación:
* M = [d, c1, c2; c1, a1, b; c2, b, a2].
* A = [a1,b; b, a2].
La matriz “A” es simétrica. A la matriz “M” se la denomina matriz de la cónica, mientras que a “A” la denominamos matriz de los términos cuadráticos.
Cónica Ordinaria y Cónica Degenerada:Si una cónica cumple que:
* detM ≠ 0.
, se la denomina cónica ordinaria, y será en general una elipse, una hipérbola o una parábola.
Si una cónica cumple que:
* detM = 0.
, se la denominacónica degeneradam y será la ecuación de un punto, un par de rectas, o tal vez no tendrá solución real.
Ecuación Reducida de las Cónicas:
Consideremos una cónica de ecuación:
* a1 x^2 + a2 y^2...
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