Cacalculo Vectorias

En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar f es un campo vectorial que indica en cada punto del campo escalar la dirección de máximo incremento del mismo. El gradiente se representa con el operador diferencial nabla seguido de la función (cuidado de no confundir el gradiente con la divergencia, ésta última se denota con un punto de producto escalar entre el operador nabla y el campoSi se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presión P (campo escalar de 3 variables), entonces el vector gradiente en un punto genérico del espacio indicará la dirección en la cual la presión cambiará más rápidamente. Otro ejemplo es el de considerar el mapa de líneas de nivel de una montaña como campo escalar que asigna a cada pareja de coordenadaslatitud/longitud un escalar altitud (campo escalar de 2 variables). En este caso el vector gradiente en un punto genérico indicará la dirección de máxima inclinación de la montaña. Nótese que el vector gradiente será perpendicular a las líneas de contorno (líneas "equiescalares") del mapa. El gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar,esto es:

Esta definición se basa en que el gradiente permite calcular fácilmente las derivadas direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional según un vector:

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:

Con la definición anterior, el gradiente estácaracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

Interpretación del gradiente
De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal a una superficie o curva en el espacio a la cual se le esta estudiando, en un punto cualquiera, llámese (x,y), (x,y,z), (tiempo, temperatura), etcétera. Algunos ejemplos son:
* Considere unahabitación en la cual la temperatura se define a través de un campo escalar, de tal manera que en cualquier punto , la temperatura es . Asumiremos que la temperatura no varia con respecto al tiempo. Siendo esto así, para cada punto de la habitación, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual se calienta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido se calienta en esadirección.
* Considere una montaña en la cual su altura en el punto (x,y) se define como H(x, y). El gradiente de H en ese punto estará en la dirección para la que hay un mayor grado de inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará cuán empinada se encuentra la pendiente.
[editar] Propiedades
El gradiente verifica que:
* Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por =cte.* Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.
* Su módulo es igual a esta derivada direccional máxima.
* Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla).
* El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es,

[mostrar]Demostración |
(1) Sea M el conjunto de puntos que verifican , sea una curva en M,ysea un vector tangente , entonces:de modo que es ortogonal a todo vector tangente (2) La derivada direccional en la dirección de un vector unitario viene dada por:que es máxima cuando apunta en la dirección de
(3) Por lo expuesto en (2)(4) El incremento infinitesimal en una dirección de Φ viene dado por la derivada direccional en esa dirección, y dado que en un punto estacionario tal incrementoha de ser nulo para cualquier dirección el gradiente ha de anularse.(5) La componente k-ésima del rotacional puede calcularse empleando el símbolo de Levi-Civita y si las derivadas cruzadas son iguales se tiene: |
[editar] Expresión en diferentes sistemas de coordenadas
A partir de su definición puede hallarse su expresión en diferentes sistemas de coordenadas. En coordenadas cartesianas, su...