Calcular helice

Problema 0.1 Calcular la longitud de una vuelta de una h´lice de radio R e y paso de rosca a, parametrizada por γ(φ) = (R cos φ, R sin φ, aφ). Obtener la parametrizaci´n por longitud de arco de la h´lice. o e Soluci´n: o Calculamos la velocidad de la parametrizaci´n, o γ (φ) = −R sin φ ux + R cos φ uy + a uz , para calcular la longitud de la h´lice, e
2π 2π

γ (φ) =

R 2 + a2 ,

L(Γ) =
0γ (φ) dφ =
0

R2 + a2 dφ = 2π

R 2 + a2 . 2

Figura 1: H´lice e La ecuaci´n de la parametrizaci´n por longitud de arco es ds = γ (φ) dφ. o o Por tanto,
φ

s=
0

γ (φ) dφ =

R 2 + a2 φ , .2

γ (s) = γ ˜

s √ 2 + a2 R

=

s s s , R sin √ , a√ R cos √ 2 + a2 2 + a2 2 + a2 R R R

Problema 0.2 Calcular el momento de inercia de un rect´ngulo homog´neo de a e lados a, brespecto a un eje que coincida con uno de los lados, respecto a un eje paralelo al anterior que pase por el centro y respecto a un eje perpendicular al rect´ngulo que pase por su centro. a Soluci´n: o Podemos parametrizar de manera trivial el rect´ngulo por medio de a g : (−a/2, a/2) × (−b/2, b/2) → R3 , (x, y) → (x, y, 0) situando el rect´ngulo en el plano XY y el origen en el centro del rect´ngulo. aa 1

Calculamos el momento respecto a los ejes, teniendo en cuenta que la densidad es σ = M/ab, ya que el ´rea del rect´ngulo es ab, a a Ix = = σ
S

(y 2 + z 2 ) dS = σ b 12
3 a/2 3

σ

−a/2

Por la simetr´ de la figura, ıa M a2 a2 + b 2 , Iz = Ix + Iy = M .2 12 12 Finalmente, para calcular el momento respecto al lado a, como est´ separado a una distancia b/2 del centro de masa, Iy =b2 M b2 = , 4 3 usando el teorema de Steiner. Del mismo modo, Ia = Ix + M M a2 .2 3 Problema 0.3 Calcular por dos m´todos el flujo del campo v(x, y, z) = 2y uy e a trav´s de la parte del cilindro de ecuaci´n x2 + y 2 = R2 , R > 0, comprendida e o entre los planos z = −a, z = a. Ib = Soluci´n: o Parametrizamos el cilindro usando coordenadas cil´ ındricas, g: (0, 2π) × (−a, a) → R3 , (φ, z) → (R cosφ, R sin φ, z) vx ∂g1 ∂φ ∂g1 ∂z 2 vy ∂g2 ∂φ ∂g2 ∂z vz ∂g3 ∂φ ∂g3 ∂z

tomando como normal ∂φ × ∂z . Por tanto, el flujo es
2π a

Φv,S

=
0

£ ¢ ¡¥  ¤
Figura 2: Rect´ngulo de lados a, b a
a/2 b/2

dx
−a/2 −b/2 2

dy y 2 = σ

a/2

dx
−a/2

y3 3

b/2 −b/2

dx = σ

Mb ab = . 12 12

dφ
−a

dz

g(z,φ)

∂

∂φ×∂

Figura 3: Cilindro

2π

a

=
0

dφ
−a 2πdz

= =

2R2
0

dφ
−a

4aR2

φ sin 2φ − 2 4

Ζ+

Figura 4: Cilindro cerrado Como la divergencia del campo v es div v(x, y, z) = ∂v x (x, y, z) ∂v y (x, y, z) ∂v z (x, y, z) + + =2, ∂x ∂y ∂z

podemos aplicar el teorema de la divergencia para calcular el flujo pedido, usando el recinto comprendido dentro del cilindro, si le a˜ adimos las dos tapas cirn culares que lo cierran, Z± ,situadas en los planos z = −a, z = a, con normales exteriores respectivas νZ− = −uz , νZ+ = uz . Teniendo en cuenta que el flujo a trav´s de las tapas Z± es nulo, ya que uz es perpendicular al campo v, e Φv,S = Φv,S + Φv,Z− + Φv,Z+ = div v dV = 2
V V

¦ ¦
∂φ
a 2π 0

0 2R sin φ −R sin φ R cos φ 0 0
0

0 0 1
2π

dz sin2 φ = 4aR2 = 4πaR2 . 2

sin2 φ dφ

ν

ν

Ζ−

dV = 2Vol(V ) =4πaR2 . 2

3

Problema 0.4 Calcular por varios m´todos la circulaci´n del campo v(x, y, z) = e o y 2 ux a lo largo del tri´ngulo definido por los ejes X, Y y la recta x + y = 1, a z = 0. Soluci´n: o Parametrizamos el tri´ngulo, descomponi´ndolo en tres segmentos, X, Y , a e XY , γX : (0, 1) → R3 , x → (x, 0, 0) γXY : γY : (0, 1) → R3 , y → (0, y, 0)

Si escogemos como orientaci´n el sentidoantihorario en el plano XY , resulo tar´ que estamos recorriendo X en sentido positivo, Y , XY en sentido negativo. a Por tanto, Cv,Γ = Cv,X − Cv,Y − Cv,XY = 0 − 0 −
1 1

Cv,X =
1

0

Cv,Y =

0 1

Cv,XY

=
0 1

v, τ

=
0

(1 − x)2 dx =

Otro m´todo para calcular la circulaci´n consiste en aplicar el teorema de e o Stokes a una superficie que tenga por borde orientado la...