Calculo 2

SEGUNDA UNIDAD: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
La Integral definida tiene múltiples aplicaciones, estudiaremos algunas de ellas: 1. El área entre curvas 2. El área en coordenadas polares 3. El volumen de un sólido de revolución 4. El centroide de una figura plana 5. Longitud de Arco 6. El área de una superficie de revolución 7. El trabajo realizado al vaciar estanques

1. AREA ENTRE CURVASRecordemos que si f es una función continua y no negativa en [a, b], entonces el área bajo la gráfica de f, el eje X y las rectas x = a y x = b está dada por

k (b  a)  b  a  A   f ( x)dx  lim  f  a   a n n  n k 0 
b n

Supongamos que f ( x)  0 en [a, b] Entonces

A    f ( x)dx   f ( x)dx
a a

b

b

A

Definición: Si f (x) es continua en [a,b] entonces, el árealimitada por su gráfica, el eje X y las rectas x = a y x = b está dada por:

A   f ( x) dx
a

b

Nota: como la fórmula utiliza el valor absoluto de la función, hay dos maneras de resolverla: a) Aplicando la definición de valor absoluto para conocer el intervalo dónde la gráfica de la función está sobre el eje X y el intervalo dónde la gráfica de la función está bajo el eje X. b) Graficandola función en el intervalo dado, para encontrar dichos intervalos

Ejemplo: 1. Hallar el área limitada por la gráfica de Solución: La gráfica muestra que la función es negativa entre [-1,0] y positiva para valores mayores que cero.

y  x 3 , el eje X en el intervalo

[-1,2]

También se puede llegar a esta conclusión, aplicando la definición de valor absoluto:

 x 3 si  1  x  0  f( x)   3  x si 0  x  2  A    x dx  
3 1 0 2 0

x4 x dx   4
3

0

x4 17 2   u 4 0 4 1

2

 

2. Evaluar el área limitada por la gráfica de

y  cos x , el eje X en   ,   2

  x  cos x 2 2 cos x    2  x   cos x
Como lo muestra la figura:

2 A    cos xdx   cos xdx  2senx 0  senx   3 2








2

2

2

Supongamosdos funciones f y g continuas en [a, b] y tal que hallar el área entre ambas gráficas y las rectas x = a y x = b f(x) A g(x)

x  a, b, f ( x)  g ( x) . Interesa

a

b

Análogamente, a la deducción hecha para el área bajo la curva, sea P una partición del intervalo [a, b] en n subintervalos de igual longitud y xk * un punto cualquiera dentro del k – ésimo intervalo

xk 1, xk  .Cada rectángulo tiene área


* * Ak  f ( xk )  g ( xk ) x





Luego el área total será
* * A  lim  f ( xk )  g ( xk ) x n  b k 1 n



A    f ( x)  g ( x)dx
a

Definición: Sean f y g funciones continuas en [a, b]. Entonces el área A de la región comprendida entre sus gráficas en [a, b] está dada por:

A   f ( x)  g ( x) dx
a

b

Ejemplos: 1.- Hallar elárea de la región limitada por las gráficas de Solución En este caso no nos dan el intervalo de integración, debemos encontrarlo igualando ambas funciones:

y  x3 , y  x

x2  x x( x  1)  0 x  0 x 1
Además, sabemos que en el intervalo [0, 1],

x  x2
2

como lo muestra la figura:
1

A

1

0



x 2 x3 1 x  x dx    u2 2 3 0 6



 

2.-

Hallar
3

elárea

de

la

región

limitada

por

las

gráficas

de

yx x
Solución

y  x  4 x  1 x  1

Para poder graficar la primera función, usaremos nuestros conocimientos de máximos y mínimos:

y  x3  x y'  3x 2  1  0  x   y' '  6 x mínimo en x 
1 3 1 3

1 3

máximo en x  

A   x  4  x3  x dx  8 u 2
1

1





 
de la región limitadapor las gráficas de

3.2

Hallar

el

área

y  x  2x  3
Solución

y  2 x  2 x  1 x  3

La primera función es una parábola de vértice

y  x2  2x  3 y  4  ( x  1) 2 V (1,4)
Y corta al eje X en

( x  3)( x  1)  0 x  1 x3

A   2 x  2  x 2  2 x  3 dx  80 u 2 3
1

3





 
x  y2 x  6  y2

4.- Hallar el área de la región limitada...