Calculo 2

IV Unidad: Regla de L’
Hôpital e Integrales
Impropias
Mg. María Eugenia Ruz Laferte
Departamento de Matemáticas - UCN
1. FORMAS INDETERMINADAS:
Al estudiar límites en el primer curso de Cálculo, nos encontramos con
0
expresiones de la forma . Para calcular estos límites se debía realizar
0
un arreglo algebraico.
Formas de este tipo se llaman "formas indeterminadas". Otras formas
11
;1 ; 10 ; 1 1 ; 0:1 ; 01
indeterminadas son
1
Estudiaremos una regla que nos permitirá resolver límites de estas formas aplicando derivadas.
01
Formas del tipo ;
01
Según el teorema del Valor Medio, si f; g continuas en [a; b] y diferenciables en (a; b) ; g 0 (x) 6= 0 8x 2 (a; b) ; entonces 9 c tal que
f (b) f (a)
ba

g (b) g (a)
ba

= f 0 (c)

f 0 (c)
f (b)
=
0 (c)
g
g (b)Regla L’Hôpital:
luego:

= g 0 (c)

f (a)
g (a)

f (x)
f 0 (x)
es una forma indeterminada y que lim 0
=
x!a g (x)
x!a g (x)
f (x)
f 0 (x)
L entonces lim
= lim 0
= L:
x!a g (x)
x!a g (x)

Supongamos que lim

1

Demostración:
Como lim f (x) = 0
x!a

^

lim g (x) = 0 podemos suponer que f (a) =

x!a

g (a) = 0 lo que implica que f (x) y g (x) son continuas en x =a:
Además son diferenciables, lo que implica que son continuas tanto en
(r; a) como en (a; s) ; luego son continuas en (r; s) :
Aplicando el Teorema del Valor Medio, . existe c 2 [x; a] ó [a; x] 8x 6= a
tal que
f (x) f (a)
f (x)
f 0 (c)
=
=0
g (x) g (a)
g (x)
g (c)
y cuando x ! a, c ! a
f (x)
f 0 (c)
f 0 (c)
= lim 0
= lim 0
=L
x!a g (x)
x!a g (c)
c!a g (c)
lim

Ejemplos:cos x 1 0 L0 H
sen x
= lim
=0
x!0
x!0
x
0
1
2x 2 0 L0 H
2
(b) lim
= lim 1 = lim2x = 2
x!1 ln x
x!1
x!1
0
x
sec x
1 L0 H
sec x tan x
(c) lim
=
lim
= lim senx = 1
sec2 x
x!( 2 ) 1 + tan x 1
x!( 2 )
x!( 2 )
(a) lim

t (1 cos t) 0 L0 H
1 cos t + t (sent) 0 L0 H
sent + sent + t cos t
=
= lim
= lim
t!0 t
t!0
t!0
sent 0
1 cos t
0
sent
2sent + t cos t
0
2 cos t+ cos t tsent
lim
= lim
=3
t!0
t!0
sent
0
cos t

(d) lim

01
La Regla de L´Hôpital sólo se puede usar para las formas indeterminadas ;
:
01
Para las otras formas indeterminadas, debemos primero realizar algún
01
arreglo algebraico para llevarlas a ;
01
Formas del tipo: 1 0 ó 1 1
Si lim f (x) g (x) es de la forma 1 0 entonces lim
x!a

x!a

2

f (x)
1
g ( x)

es dela forma

1
y aplicamos la regla de L’
Hôpital
1
Ejemplos:
1.

lim

x!( 2 )

x

2

sec x 0 1

x
2
lim
cos x
x!( 2 )

L0 H

0
0

=

lim

x! 2

1
=
sen x

1

2. lim x cot x 0 1
x!0+

lim

x!0+

x
tan x

0
0

L0 H

1
=1
x!0+ sec2 x

= lim

1
1
1 1 (sacando mínimo común denominador)
x!0+
x sen x
sen x
x
L0 H
0
lim
=
0
x!0+
xsen x
0 L0 H
cos x 1
=
lim
x!0+ sen x + x cos x
0
sen x
lim
=0
x!0+ cos x + cos x
x sen x

3. lim

4. lim (ln x
x!0+

lim ln

x!0+

ln sen x) 1

x
sen x

= ln lim

Formas del tipo

1
1

x!0+ senx
x

(aplicando propiedades de logaritmo)
= ln 1 = 0

11 ; 1 ; 01

Usando ln, podemos llevarlos a la forma 0 1 y de ahí a 0 o
0
recordando que si lim ln f (x) = bentonces lim f (x) = eb :
x!a

x!a

3

1
1

Ejemplos:

1. lim

x!1

1
1+
x

x

100

1+

ln y = x ln 1 +

x

1
x
1
x

Sea

y=

1
x

lim ln y = lim x ln 1 +

x!1

x!1

ln
= lim

1+

10

1
x

0
0

1
x

x!1

1
1
1+
0x
= lim
x!1

@

0
@

L0 H

=

1

1
A
x2

1

1
A
x2

=1

Como lim ln y = 1 entonces lim y =e1 = e
x!1

x!1

Esta es la de…nición del número e
e = lim

x!1

2. lim

x!0+

Sea

1
x
y=

1
1+
x

x

1
1
x

x

entonces ln y = x ln
4

1
x

x

lim ln y = lim x ln

x!0+

x!0+

ln
= lim

x!0+
0

1
x

1
x
1
x
1

01
L0 H

0
0

=

1
A
x
= lim
1 =0
x!0+
x2
Como lim ln y = 0 entonces lim y = e0 = 1
+
+
@

x!0

x!0...