calculo 6 1 4

Informates.edu

Dpto. de Matem´
atica Aplicada, FI-UPM.

6. Sucesiones y Series num´
ericas
6.1. Sucesiones num´
ericas

6.1.4. SUCESIONES RECURRENTES

Sucesiones recurrentesSe dice que {an } es una sucesi´
on recurrente cuando sus t´erminos vienen definidos en funci´on de los que le
preceden. Son sucesiones recurrentes:
a1 = 1
an+1 =

1 + a2n , n ≥1

a1 = a2 = 1
an = an−1 + an−2 , n > 2

es la sucesi´on: 1,

√ √ √
2, 3, 4 = 2, . . .

es la sucesi´on: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .

(sucesi´
on de Fibonacci)

Para hallar ell´ımite de sucesiones recurrentes es frecuente proceder como se indica a continuaci´
on:
1. Tomar l´ımites en la expresi´on de recurrencia y hallar el posible l´ımite de lasucesi´on en la ecuaci´on que
se obtiene.
2. Probar que la sucesi´on es mon´otona y acotada, de donde se deduce que el posible l´ımite calculado antes
es el l´ımite de la sucesi´on(6.1.1).
Ejercicios
1. Halla el l´ımite de la sucesi´on recurrente:

an+1 =
a1 = 2

1
3−an

, n≥1

2. Estudia la convergencia y calcula el l´ımite, cuando exista, de cada una delas siguientes sucesiones
recurrentes:
√
n
(a) an+1 =
an , a1 = 1
(b) an+1 = 1 + 2an − 1 , a1 = a > 0
n+1
3. En un estudio sobre la reproducci´on de conejos, Fibonacci encontr´
ola sucesi´on que lleva su nombre:
an+2 = an + an+1

con a1 = a2 = 1

(a) Escribe los 12 primeros t´erminos de la sucesi´on de Fibonacci.
(b) Escribe los 10 primeros t´erminos dela sucesi´on definida por bn =
(c) Demuestra que bn+1 = 1 +

1
bn ,

an+1
an ,

n ≥ 1.

n ≥ 1.

(d) Suponiendo que la sucesi´on {bn } es convergente, encuentra su valor (estel´ımite se conoce con el
nombre de raz´
on ´
aurea).
4. Halla el l´ımite de las sucesiones:
(a)

√
2,

2+

√
2,

2+

2+

√
2, . . .

(b)

√
5,

5+

√
5,

5+

5+

√
5, . . .