Calculo computacional

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ING. INDUSTRIAL Métodos Computacionales Raíces – Iteración de Punto Fijo Laboratorio

RAÍCES DE ECUACIONES NO LINEALES – ITERACIÓN DE PUNTO FIJO
INTRODUCCIÓN. Las soluciones de una ecuación no lineal escalar f ( x) = 0 , se llaman ceros o raíces de la función f . Existen una gran variedad de métodos o técnicas que permiten resolver el problema las cualesserán objeto de estudio durante el presente curso. En este momento nos referiremos específicamente a método conocido como Método Iterativo de Punto Fijo 1 . Si la ecuación por resolver es de la forma f ( x) = 0 y se puede escribir en la forma:

x = g (x)
entonces se puede desarrollar el esquema iterativo siguiente: (2)

(1)

xn +1 = g ( xn ),

n = 0,1,2,...,

a partir de la informaciónque se dispone de la función (posición de la raíz) debe proporcionarse una aproximación inicial, xo al valor de la raíz. Siguiendo los pasos descriptos en [1, capítulo 3 sección 3.1.4] la ecuación (1) se obtiene reordenando la ecuación f ( x) = 0 de modo a que aparezca el valor de x en el lado izquierdo. Por ejemplo, la ecuación

x − e1/ x = 0
Puede reordenarse para obtener

(3)

x = e1/ xSiendo en este caso

(4)

g ( x) = e1/ x

(5)

Referencia: [1] “Introducción a los Métodos Numéricos con Pascal” – L.V. Atkinson, P.J. Harley. Universty of Sheffield.
Una denominación alternativa, que se encuentra frecuentemente en la literatura, es Método de Sustituciones Sucesisvas. No obstante, esta denominación nosotros la reservaremos para hacer referencia a una clase mas amplia demétodos iterativos de resolución de ecuaciones no lineales.
1

Como es obvio la generación de la función g no es única y existe una diversidad de posibles funciones g. Por ejemplo, tomando logaritmos a ambos lados llegamos a :

g ( x) =

1 ln( x)

(6)

O sumando x a ambos lados de la ecuación se llega:

g ( x) =

x + e1/ x 2

(7)

En todos los casos la metodología de aplicacióndel método es la misma. El método avanza desde un valor propuesto xo , lo cual permite hacer una primera estimación (corrección) del valor de la raíz

x1 = g ( xo )
luego

(8)

x2 = g ( x1 )
y así sucesivamente.

(9)

Como se verá más adelante una de las ventajas del método, o quizás la mas importante radica en su sencillez y en la flexibilidad para escoger la función g (x) . Entre lasdesventajas se encuentra el hecho que no siempre el método es convergente para una dada función g (x) elegida arbitrariamente. Recordemos el enunciado de dos teoremas que aclaran este punto2.

Teorema 1: Si g (x) es continua en [a,b] y g (x) está en [a,b] para toda x en el intervalo, entonces g (x) tiene un punto fijo en el intervalo [a,b]. Además, suponiendo que g ′(x) exista en el (a,b) y quesatisfaga

g ′( x) ≤ K < 1
para toda x en (a,b),entonces g (x) tiene un único punto fijo α en [a,b].

Las condiciones impuesta por este teorema pueden usarse para confirmar que una función g (x) tiene un punto fijo α en el intervalo. Sin embargo, las condiciones son sólo condiciones suficientes y no necesarias. El ejemplo que se da a continuación ilustra la situación anterior: Ej. Considere lafunción

g ( x) = e −2 x en el intervalo [0,1], su primera derivada es

g ′( x) = −2 e −2 x . Si vemos su valor en x = 0.1 obtenemos –1.6375, correcto hasta cuatro cifras
significativas. No obstante como se ve de la gráfica siguiente la función es estrictamente creciente en el [0,1] y x tiene el mismo comportamiento y presenta un sólo punto fijo.

2

La demostración de ambos teorema hasido realizada en clase. Asimismo ambas demostraciones pueden encontrarse en la referencia [1] páginas 57-58.

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 -1.2 -1.4 -1.6 -1.8 -2.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

PUNTO FIJO

Y

g(x) = exp(-2x) x g'(x) = -2 exp(-2x)

X

Ejemplo mostrando la que la condición g ′( x) ≤ K < 1 no es necesaria sino sólo suficiente....