Calculo Defirencial E Integral De La Recta Real

C´lculo Diferencial e Integral - La recta real. a Objetivos a cubrir
• Conjunto de loa n´meros reales. Leyes de los n´meros reales. u u • Conectores l´gicos. Proposiciones y demostraciones o • Resoluci´n de ecuaciones e inecuaciones. o • Valor absoluto. Resoluci´n de ecuaciones e inecuaciones con valores absolutos. o

Farith J. Brice˜ o N. n C´digo : MAT-CDI.1 o

Ejercicios resueltos Ejemplo1 : Traduzca las siguientes expresiones verbales a expresiones num´ricas e 1. La diferencia de un n´mero par y de un n´mero impar. u u 2. La quinta parte de la edad de Pedro sumada con el triple de la edad de Luis. 3. La edad de Pedro m´s la mitad de la edad de Luis es cien. a 4. El triple de la suma de un n´mero y diez es igual a doce. u Soluci´n : 1. Sean o x : un n´mero par cualquiera u y : unn´mero impar cualquiera u Es conocido que los n´meros pares vienen expresados como x = 2n, con n ∈ Z, mientras que los n´meros u u impares se expresan como y = 2m + 1 ´ como y = 2m − 1, con m ∈ Z. Es de hacer notar que n no tiene o que ser igual a m. Luego, la expresi´n o “La diferencia de un n´mero par y de un n´mero impar” u u se escribe matem´ticamente como a 2n − (2m − 1) , que esequivalentemente a escribir 2k + 1, 2. Sean x : la edad de Pedro y : la edad de Luis Luego, la expresi´n o “La quinta parte de la edad de Pedro sumada con el triple de la edad de Luis” se escribe matem´ticamente como a 3. Sean x : la edad de Pedro y : la edad de Luis 1 x + 3y. 5 donde k =n−m∈Z con n, m ∈ Z,

Luego, la expresi´n o “La edad de Pedro m´s la mitad de la edad de Luis es cien” a se escribematem´ticamente como a x+ 4. Sean x : un n´mero cualquiera u Luego, la expresi´n o “El triple de la suma de un n´mero y diez es igual a doce” u se escribe matem´ticamente como a 3 (x + 10) = 12. y = 100. 2

Ejemplo 2 : Simbolizar las siguientes proposiciones 1. “5 no es primo o no es impar”. 2. “Si 2 + 3 < 6 entonces 2 < 3”. 3. “4 es divisible por 2 si y solo si 4 es par”. 4. “3 es primo y 5 esimpar o primo”. 5. “Francisco Sanchez es nadador o es tenista”. Soluci´n : 1. Sean o p : 5 es un n´mero primo u q : 5 es un n´mero impar u Luego, la proposici´n o “5 no es primo o no es impar” se simboliza por p ∨ q. 2. Sean p: 2+3 b2 . √ Ejemplo 4 : El n´mero u ab se llama la media geom´trica de dos n´meros positivos a y b. Pruebe que e u √ a0 entonces, simb´licamente se tiene o p ∧ q ∧ r −→ w as´usando las hip´tesis son “p”, “q” y “r”, debemos demostrar la tesis “w”. ı, o Partimos de la hip´tesis “r”, como o a0 r : a b2 por la propiedad transitiva de orden de los n´meros reales u

por otro lado, podemos hacer las mismas operaciones, pero esta vez multiplicando por b a 0, b > 0 y a < b, entonces a < ab < b. Ejemplo 5 : Demuestre que |x| ≤ 2 implica que x2 + 2x + 7 ≤ 15 x2 + 1Demostraci´n : Por propiedades de valor absoluto o x2 + 2x + 7 x2 + 2x + 7 = , x2 + 1 |x2 + 1| como que x2 + 1 es una expresi´n positiva, tenemos que o x2 + 1 = x2 + 1 as´ ı, x2 + 2x + 7 x2 + 2x + 7 x2 + 2x + 7 = . = x2 + 1 |x2 + 1| x2 + 1 Por otro lado x2 + 1 ≥ 1 aplicamos ←− ¿Por qu´? e 1 a la desigualdad, como esta aplicaci´n cambia desigualdades (ver ejercicio 20), obtenemos o (·) x2 + 1 ≥ 1 as´ ı =⇒ x21 ≤1 +1

x2 + 2x + 7 x2 + 2x + 7 = ≤ x2 + 2x + 7 x2 + 1 x2 + 1

por desigualdad triangular x2 + 2x + 7 ≤ x2 + |2x| + 7 = x2 + 2 |x| + 7, del hecho que |x| ≤ 2 se concluye que x2 + 2x + 7 ≤ x2 + 2 |x| + 7 ≤ 4 + 2 (2) + 7 = 15. Luego x2 + 2x + 7 ≤ x2 + 2x + 7 ≤ 15, x2 + 1 es decir, x2 + 2x + 7 ≤ 15. x2 + 1 es decir, x2 + 2x + 7 ≤ x2 + 2 |x| + 7

Ejemplo 6 : Hallar el conjunto soluci´n de o x2+ 4x − 5 >1 2x2 + 1 Soluci´n : Tenemos o x2 + 4x − 5 − 2x2 + 1 x2 + 4x − 5 x2 + 4x − 5 4x − 6 − x2 > 1 =⇒ − 1 > 0 =⇒ > 0 =⇒ >0 2x2 + 1 2x2 + 1 2x2 + 1 2x2 + 1 Buscamos la ra´ ıces de la expresi´n del numerador y la expresi´n del denominador o o 5

4x − 6 −

x2

−4 ± = 0 =⇒ x = 0±

(4)2 − 4 (−1) (−6) 2 (−1)

√ −4 ± 16 − 24 = =⇒ ra´ imaginaria ız 2 (−1)

2x2

(0)2 − 4 (2) (1) 2 (4)...