calculo diferencial

TECSUP - PFR

Cálculo Diferencial e Integral

UNIDAD I

FUNCIONES
1.

INTRODUCCIÓN
Se llama función de A en B a toda relación F de A en B que cumple: para
cada elemento a de A existe a lo más un único elemento b de B y solo
uno.
A los elementos a se les denominan dominio y a este único elemento b se le
denomina imagen o también valor de la función F para el elemento a o
simplementerango de la función.
LA GRÁFICA FUNCIONAL
Se dice que C es una gráfica funcional si para todo x del dominio existe a lo
sumo un único elemento y que pertenece a C.
Simbólicamente:
C

es

gráfica

funcional

si

todo

(x 1 ; y 1 ) , ( x 2 ; y 2 )  C ,

par

donde

x1  x 2  y1  y 2 .

Y

Y

C

D

C es una
gráfica
funcional

D no es una
gráfica
funcionalRango

Rango

2.

Dominio

X

Dominio

X

Conclusión
Para saber si una gráfica es funcional se traza una recta vertical y para cualquier
valor x del dominio debe existir una sola imagen (un solo valor de y) del rango.

5

Cálculo Diferencial e Integral

TECSUP - PFR

EJERCICIOS
Indicar el dominio y rango de las siguientes relaciones señalando, además,
cuáles sonfunciones.
Y

Y
2
2

1
1

-2

-1

1

2

3

X

-2

1

2

X

3

-1

-1

Y

2

1

-2

3.

-1

1

2

X

FUNCIONES NOTABLES
3.1

FUNCIÓN CONSTANTE
Es aquella cuya regla de correspondencia es y  f (x )  b cuyo dominio
es los reales  y su rango un solo número real b.
Ejemplo:

y=3

Y

y =3
2
1

Dy = R
Ry = {3}

6

X

TECSUP - PFR3.2

Cálculo Diferencial e Integral

FUNCIÓN IDENTIDAD
Es aquella función con regla de correspondencia y = x, siendo su dominio
los reales y su rango los reales (En esta función en cada par ordenado las
componentes son iguales).
Ejemplo:

y=x
Y

y=x
Dy = R
Ry = R
X

3.3

FUNCIÓN LINEAL
Es aquella función con dominio  y rango
correspondencia es y  mx  b , donde m  0 .Ejemplo:

 cuya regla de

y  2x  4
Y

y = 2x + 4

X

Dy = R
Ry = R

3.4

FUNCIÓN CUADRÁTICA
Es el conjunto de pares (x ; F (x )) con dominio en
2

correspondencia F (x )  ax  bx  c , donde: a  0 .

7

 y regla de

Cálculo Diferencial e Integral

TECSUP - PFR

Toda función cuadrática puede expresarse de la forma y  a (x  h ) 2  k ,
donde (h ; k ) representalas coordenadas del vértice de la parábola.
Y

Y

a

k

a

0

0

X

k

h
h

Ejemplo:

X

F (x )  3x 2  2x  5
Y

Dy = R
Ry =

14
 9 ; 

X

3.5

FUNCIÓN CÚBICA
Es el conjunto de pares ( x ; F (x ) ) con dominio en  y regla de
correspondencia F (x )  x 3 .
Ejemplo: F (x )  x 3

Y

F (x )=x 3
X

Dy = R
Ry = R

8

TECSUP - PFR

3.6Cálculo Diferencial e Integral

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
Es el conjunto de pares ( x ; x ) con dominio en  y regla de
 x , si
correspondencia F (x )  
x , si

Dominio:
Rango:

x 0
x 0
Y

 ; 

F(x) = x

0 ; 

X

Dy = ; 
Ry = 0; 

3.7

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
Es el conjunto de pares ( x ; x ) con dominio en R y regla de
correspondencia F(x)  xDominio:

0 ; 

Rango:

donde : x  0 .

0 ; 

Y

F (x )  x

X

Dy = 0; 
Ry = 0; 

3.8

FUNCIÓN PERIÓDICA
Es el conjunto de pares x ;f (x ) en los cuales existe un número real fijo


T  0 , tal que: F (x  T )  F (x ) para todo x que esta definida F (x ) .
En donde T se llama periodo de la función.
La gráfica generalmente es aquella que tiene carácterrepetitivo.
Ejemplo:
 1 , si
F (x )  
 0 , si

Y

Dy = R
Ry = {0;1}

x Z
x R  Z

1

-3

9

-2

-1

1

2

3

X

Cálculo Diferencial e Integral

4.

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OPERACIONES CON FUNCIONES
1. ADICIÓN: Se le denota por f  g y se establece: y  f (x )  g (x )
Dominio (f  g )  D f  D g

2. DIFERENCIA:

Se le denota por f  g y se establece: y  f (x...