Calculo Diferencial

CAP´ITULO 2
CA´ LCULO DIFERENCIAL
1. INTERROGANTES CENTRALES DEL CAP´ITULO
 L´ımite de una funci´on
 L´ımites laterales
 Reglas para el c´alculo de l´ımites
 Regla del ‘bocadillo’
 Continuidad de una funci´on
 Propiedades de las funciones continuas
 Teorema del valor intermedio
 Derivada de una funci´on
 Interpretaci´on geom´etrica de la derivada
 Teorema de Rolle
 Teoremadel valor medio
 M´aximos y m´ınimos relativos
 Polinomios de Taylor
 Series de potencias
 Teorema de Taylor
 Algoritmo de bisecci´on
 M´etodo de iteraci´on del punto fijo
 M´etodo de Newton-Raphson
 Polinomio interpolante de Lagrange
 M´etodo de interpolaci´on iterada
 M´etodo de diferencias divididas
2. CONTENIDOS FUNDAMENTALES DEL CAP´ITULO
2.1. L´ımite de una funci´on2.1.1. Definiciones
La noci´on de l´ımite es b´asica en todo el c´alculo, por lo que es sumamente importante adquirir un buen manejo y
conocimiento de los l´ımites antes de adentrarnos en otros temas.
Sea f(x) una funci´on y consideremos x0 un n´umero real (no necesariamente en el dominio de f). Si f(x) se
acerca arbitrariamente a un ´unico valor L cuando x se aproxima a x0 por ambos lados (sinllegar nunca a ser igual
a x0), decimos que el l´ımite de f(x) cuando x tiende a x0 es L, y escribimos
lim
x!x0
f(x) = L:
En la definici´on anterior observamos que s´olo interesa conocer c´omo est´a definida la funci´on f cerca del punto
C ´ALCULO DIFERENCIAL 31
x0. Si la funci´on existe o no en el punto x0 no tiene importancia. La cuesti´on crucial aqu´ı es la siguiente: ¿qu´e
significaque f(x) se acerca arbitrariamente a L? ¿qu´e ocurre si x se aproxima a x0 s´olo por un lado?
El comportamiento de las funciones en relaci´on a los l´ımites puede ser de lo m´as diverso. S´olo como un bot´on de
muestra, veamos las siguientes funciones.
f(x) = x=(
p
x + 1 − 1): El l´ımite de f(x) cuando x ! 0 vale 2, ya que si nos acercamos por la izquierda
obtenemos valores menores que 2pero cada vez m´as pr´oximos a 2; y si nos acercamos por la derecha
obtenemos valores mayores que 2 pero cada vez m´as pr´oximos a 2. Sin embargo, la funci´on f no est´a
definida en x = 0.
f(x) = jxj=x: Cuando nos acercamos a 0 por la izquierda, entonces f(x) = −1 por lo que el l´ımite vale −1.
Pero si nos acercamos por la derecha entonces f(x) = 1 y as´ı el l´ımite vale 1. Por tanto, no existeel l´ımite.
f(x) = 1=x2: Cuando x se aproxima a 0, f(x) se va haciendo cada vez m´as grande, por lo que no existe ning´un
n´umero real L al cual tienda f(x). Por tanto no existe el l´ımite de f(x) cuando x ! 0.
En los ejemplos anteriores hemos visto que hay funciones que se aproximan a un valor L1 cuando x se aproxima
a x0 por la izquierda y se aproximan a L2 si nos acercamos por la derecha.Este comportamiento nos lleva a
considerar las siguientes definiciones.
Sea f(x) una funci´on y consideremos x0 un n´umero real (no necesariamente en el dominio de f).
(1) Si f(x) se acerca arbitrariamente a un ´unico valor L cuando x se aproxima a x0 por la izquierda (sin llegar
nunca a ser igual a x0), decimos que el l´ımite por la izquierda de f(x) cuando x tiende a x0 es L, y
escribimoslim
x!x0
− f(x) = L:
(2) Si f(x) se acerca arbitrariamente a un ´unico valor L cuando x se aproxima a x0 por la derecha (sin llegar
nunca a ser igual a x0), decimos que el l´ımite por la derecha de f(x) cuando x tiende a x0 es L, y
escribimos
lim
x!x0+
f(x) = L:
Entonces existe el l´ımite de una funci´on f(x) en x0 si existen los l´ımites laterales en x0 y coinciden.
2.1.2. Reglas para elc´alculo de l´ımites
Si b y c son n´umeros reales, n un entero positivo y f, g son funciones que tienen l´ımite cuando x tiende a c,
entonces son ciertas las siguientes propiedades:
(1) M´ultiplo escalar: lim
x!c
[bf(x)] = b[lim
x!c
f(x)]
(2) Suma/Diferencia: lim
x!c
[f(x)  g(x)] = lim
x!c
f(x)  lim
x!c
g(x)
(3) Producto: lim
x!c
[f(x)g(x)] = lim
x!c
f(x) lim
x!c
g(x)
(4)...