Calculo Ii

Capítulo 1
Integral indefinida

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Módulo 1 Función primitiva o antiderivada Módulo 2 Integral indefinida Módulo 3 Regla de sustitución o cambio de variable Módulo 4 Algunas aplicaciones de la integral indefinida Ejercicios Módulos 1 al 4

La ley de caída de Galileo establece que todos los cuerpos caen en el mismo tiempo desde la misma altura, independientemente de su peso.

En estecapítulo se definirá el concepto matemático de integral de tal manera que el estudiante empiece a conocer lentamente el proceso u operación de «integración», mostrándole además la relación que existe entre esta operación de integración y la operación «inversa» de derivación, a la cual llamaremos «primitivación». En general, este proceso es más complicado que el de la derivación y debemos ser máscautelosos y pacientes con los métodos que se expongan, los cuales nos permitirán, cuando sea posible, obtener la primitiva o antiderivada de un gran número de funciones. Iniciamos el capítulo presentando las definiciones correspondientes a la función primitiva, para posteriormente hacer el estudio de la regla de sustitución o cambio de variable, quizás el método de integración más importante, ya que encualquiera de los otros métodos, por lo general, en algún paso intermedio se hace uso de dicha regla. Al finalizar el capítulo ilustramos con algunos ejemplos sencillos una primera aplicación de la integral indefinida a las ecuaciones diferenciales y a la física.

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Función primitiva o antiderivada
Contenidos del módulo
1.1 Función primitiva o antiderivada 1.2 Teorema 1
Gabrielle Émilele Tournelle de Breteuil Émile le Tournelle, conocida como la marquesa de Châtelet, estudió a Newton y Leibniz, tradujo al francés los Principia de Newton y contribuyó a divulgar los conceptos del cálculo diferencial e integral. Émile, nacida en 1706 y fallecida en 1749, no respondía al prototipo de belleza de su época pues ya de niña era muy alta (1,65 m) y tenía las manos y los pies grandes.Tal vez por esto su padre, pensando que no iba a casarse, se preocupó de que recibiese una excelente educación. Sin embargo, a los diecinueve años se casó con el marqués de Châtelet y suspendió temporalmente sus estudios, pero los reanudó a los veintisiete años, después del nacimiento de su tercer hijo. En los salones de su residencia, en vez de frivolizar con conversaciones intrascendentes, Émile ysus invitados deliberaban con ardor sobre problemas matemáticos. A tanto llegó su pasión por esta actividad académica que mandó que le confeccionaran unas ropas de hombre, y con sus piernas enfundadas en calzas y calzones logró entrar vitoreada por sus colegas en el café Gradot de París, en donde se reunían matemáticos y científicos y al cual se le había prohibido la entrada por ser mujer. Émilele Torunelle escribió Las instituciones de la física, libro que contiene uno de los capítulos más interesantes sobre cálculo infinitesimal.

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Objetivos del módulo
1. Presentar el concepto más importante de la integral indefinida, la primitivación o antiderivada, y sus nexos con la derivación de funciones.

Preguntas básicas
1. Se puede demostrar, usando métodos de integración, que lafunción

f ( x) =

x3 x 2 + 25
tiene las siguientes primitivas:

1 F1 ( x) = ( x 2 + 25)3 2 − 25( x 2 + 25)1 2 + C , 3 2 F2 ( x) = x 2 ( x 2 + 25)1 2 − ( x 2 + 25)3 2 + C. 3

Demuestre que F1(x) = F2(x).

Introducción
En el capítulo 3 del texto Elementos básicos de cálculo diferencial hemos estudiado el siguiente problema: dada una función F(x), hallar su función derivada f (x), esto es,F ′( x) = f ( x). En este módulo consideraremos el problema inverso: dada la función f (x), se precisa hallar otra función F(x) cuya derivada coincida con f (x). Esta función F que tratamos de buscar se llama primitiva o antiderivada de f (x).

Elementos básicos de cálculo integral y series 23

Capítulo 1: Integral indefinida

1.1 Función primitiva o antiderivada
Definición Sea f una...